1222 Gesammtsitzung vom 5. Deeember. 



nommen, die mit R vertausclibareii Elemente a^ou ^ bilden nur eine 

 Gruppe SR der Ordnung- />""'. Dann enthält© eine durch 9R theilbare 

 Gruppe ^!P, der Ordnun,^ p". Die mit 9t vertauschbaren Elemente von 

 iÖ bilden die Grupi)e SR' der Ordnung- jfr. Da r zu 9-(9{) theilerfremd 

 ist, so ist jedes Element von 9^, dessen Ordnung in r aufgeht, mit 

 jedem Elemente von 9{. also aucli mit R vertausehbar. Diese Ele- 

 mente von SR' erzeugen eine in 9}' und <£ enthaltene Gruppe, deren 

 Ordnung durch r theilliar ist. Ferner haben 9t' und © die Gruppe ^i 

 der Ordnung p" gemeinsam. Folglich ist © dvu'ch Sli'. also auch durch 

 ^ theilbar, inid R ist ein invariantes Element von ^. 



Nun seien R und R^ zwei Elemente von %S, die in i3 conjugirt 

 sind, also R^ = A'^RA. Ist R.^ ein invariantes Element von ^P, so ist 

 R ein invariantes Element von ^ip^4"\ Daher enthält die Ordnung 

 von © den Factor p". Mithin ist R auch ein invaiüantes Element von 

 p. Sind aber zwei invariante Elemente von %S conjugirt in ^^, so sind 

 sie es auch in ^' (A.II. § 5), also auch in 'p. 



Ist zweitens die Ordnung von © gleich ^""^s, so bilden die mit 

 R vertauschbaren Elemente von ^ eine Gruppe 9t der Oi-dnung p"'^, 

 und, wie eben bewiesen, die mit R,^ = A'^RA vertauschbaren Elemente 

 von Sp eine Gruppe 9ii derselben Ordnung. Die Gruppe © enthält da- 

 her 9t und ^49t,^"', und da ihre Ordnung nur durch p"'^ tlieilbar ist, 

 so giebt es in © ein solches Element S, dass /S'"'9t<S' = ^9t,^"'. Setzt 

 man also SA = i?. so ist, da R mit S vertauschbar ist, 

 B-'3iB = mi, B-'RB^R,. 



Die Gruppe 9t ist in P und in i?p5"' = pi als invariante Unter- 

 gruppe enthalten. Daher ist 9t' durch P und P, theill)ar, und folglich 

 ist Sp, = C-^'^C, wo C ein Element von 9t' ist. Daher ist CB mit ^ 

 A'ertauschbar, also in Q und folglich auch in 9t' enthalten. Demnach 

 ist auch B ein Element von 9t', also mit 9i A'ertauschbar, und mit- 

 hin ist 9t, = B-'^B = 9t. und 7?, = B-'RB ist in 9t enthalten und 

 mit E in 9t' conjugirt. 



R ist mit p"~' Elementen von P vertausehbar, also mit jl» ver- 

 scliiedenen Elementen von p conjugirt in Bezug aufp. Da 91' durch 

 p theilbar ist, so sind die Elemente von 9t' nicht alle mit 9t ver- 

 tauschbar. Dagegen ist jedes Element von 91', dessen Ordnung in r auf- 

 geht, und jedes Element von 9i mit R. vertauschbar. Mithin bilden 

 die mit R vertauschbaren Elemente von 9t' eine Gruppe % der Ord- 

 nung p"''}\ Folglich enthält 9t' genau p Elemente, die mit R in 91' 

 conjugirt sind. Solche p Elemente giebt es aber schon in p. Die 

 p Elemente von 9t', die mit R in 9t' conjugirt sind, sind also sämmt- 

 lich in P enthalten und sind mit R schon in p conjugirt. Demnach 

 giebt es in p ein solches Element P, dass R^ = P~^RP ist. 



