Frobenius: Über auflösbare Gruppen. IV. 122 a 



Die letzten vSclilussfolgerun^^'en kann man auch mittelst der Glei- 

 chung 9t' = 1.^ ableiten, avo % der grösste gemeinsame Divisor von 9v' 



und (£ ist. 



§4- 



Ich untersuche jetzt die Beschaffenheit der Gruppe § unter der 

 genaueren Voraussetzung: Je zwei Elemente von ®, die in § conju- 

 girt sind , können nur durch Elemente Aon ® in einander transformirt 

 werden. Oder, was in Verbindung mit der Annahme des Satzes I das- 

 .selbe ist: Die Elemente von ö^ <^ie mit einem von E verschiedenen 

 Elemente P von ® vertauschbar sind, gehören alle der Gruppe ® an. 

 Die Bedingung, dass g und n theilerfremd sind, kann dann wegge- 

 lassen werden, da sich aus den übrigen Voraussetzungen ergeben wird, 

 dass g ein Theiler von n — \ ist. 



Ist Q ein in ® nicht enthaltenes Element von §, so haben die 

 Gruppen ® und Q~^®Q nur das Element E gemeinsam. Denn hätten 

 sie das Element P' ^ Q^'PQ gemeinsam, so wären P imd P' zwei in 

 <Ö conjugirte Elemente von ®. vmd iblglich müsste auch Q der Gru})pe ® 

 angeluiren. Ist 



Jö z= (S) + ®Q, + @Q, + • • • -t- ®Q„-i , 



.so sind je zwei der ii mit ® conjugirten Gru])pen 



© , Qr'@(?, . Qö'®Q, , • • • Q:ißQ..-> 



theilerfremd. Denn wenn die Complexe ®Q| und ®Q., verschieden sind, 

 so ist QiQ.7' = Q nicht in ® enthalten. Daher sind ® und Q"'®Q 

 theilerfremd, also auch Q.t'®Q., und Q^' {Q-'®Q)Q, = Qr'®Q,. Jene 

 n Gruppen enthalten folglich l + {g-\)n verschiedene Elemente, und 

 demnach giebt es in § genau n-l Elemente, die in keiner der n mit 

 ® conjugirten Gruppen ^'orkommen. 



Insbesondere enthält ® ausser der Hauptgruppe keine Grupjie ^D, 

 die eine invariante Untergruppe von .S3 ist. Denn sonst wären die mit ® 

 conjugirten Gruppen auch alle durch © theilbar. Daher lässt sich § 

 als transitive Gruppe von Permutationen von n Symbolen darstellen in 

 der Art, dass die Permutationen, die ein bestimmtes Symbol nicht ver- 

 setzen, die Gruppe ® oder eine der n mit ® conjugirten Gruppen bil- 

 den. Die obige Bedingung ist daher mit der Forderung identisch, dass 

 keine Permutation dieser transitiven Gruppe ausser E mehr als ein 

 Symbol ungeändert lässt. 



Ist P ein Element von ®, so ist die Anzahl der mit P vertausch- 

 baren Elemente von § U'leich , . Diese sind, wenn P von E ver- 

 schieden ist. alle in ® enthalten. Da nun P mit r/^ Elementen in® 



