Frobenius: Über aut'I5s1)are Gruppen. I\'. 1225 



Ist also x>0. so ist diese Summe naoli (2.) s^ieich 



1 + — e'-2r«"- -e^ + ci I 1 + ~- ] = l+e: 



9 9 



9 I 



Nun ist aber r^^^O mid ?'„ = !. also 

 Daher ist 



X 



und folgiicji ist von den l—l g-anzen Zahlen 



i\,-e^r, {X = l,2.../-1) 



eine gleich ±1. die anderen gleich 0. Sind a und ß A-on einander 

 und von verschieden , so findet man ebenso 



-[~\r„^- e„i\)ir-x- eiit\) = . 



Ist also für X = a T„,-e„r,^ und für •/. ^= Ib r^.-enr„ =±1. so ist \x von 

 V verschieden. Man kann daher die Bezeichnung so wählen, dass 



1\^-e,l\ = ±\ (x:=l,2, •••/t-1) 



ist. Dagegen ist 



r„,. = e,i\, (X = l,2, ••• ;-l) 



falls -A. von A verschieden ist. und zwar für alle Werthe von •/., auch 

 für z = 0. Für A = ist dagegen r^o^l, i\^=^0. 

 Nun ist nach (i.) 



X 



für jedes Element R von §» tl^'s mit einem Element P von ® con- 

 jugirt ist, auch für R = E. Dagegen verschwindet die Summe für 

 jedes der n-l anderen Elemente von §• Setzt man für r„,. den er- 

 mittelten Werth ein, so ist demnach, falls >c>0 ist, 



± x^-H^) - e-. X^''HR) = i'^'^iP) - e.^ d'(">(P) oder 0. 

 Für R^=E ist also +/, = e^. Es gilt daher das positive Zeichen, und es 

 ist y}-\R) = ^^<"'(P), falls R mit P conjugirt ist, aber yJ'\R) = e^ =/., 

 lalls R" ^E ist. 



Alle Elemente R einer Gruppe iö: für die ein Charakter/'"" Grades 

 %(Ä) =/ ist, bilden eine invariante Untergruppe von § {Rel. § 4, II). 

 Daher bilden auch alle die Elemente von ^, wofür die A- Gleichungen 



xW(fi)=/. (x = 0,l, ...A-1) 



gelten, eine invariante Untergruppe 91. Diese besteht aus den n Ele- 

 menten, deren Ordnung in 71 aufgeht, und nur aus diesen. 



Hr. BuRNsmE beweist diesen Satz für ein gerades g (Theorrj of 

 yroups, p. 141 — 144) auf ganz elementarem Wege, und er zeigt zu- 



