1 226 Gesammtsitzung vom 5. December. 



gleich, dass in diesem Falle ?R eine commutative Gruppe ist. Für 

 ein ungerades g aber gelingt ihm der Beweis nur unter der Voraus- 

 setzung, dass ® eine auflösbare Gruppe ist [On Transitive Groups of 

 degree n and dass n~l; Proc. of the London Math. Soc. vol. XXXII). 

 Dann kann man nämlich das Resvdtait aus dem Satze I allein ableiten. 

 Der obige Beweis gilt für gerade und ungerade // ohne jede Ein- 

 schränkung. 



V. Enthält eine iransitice Gruppe des Grades n keine Subsiifutionj 

 die zwei Symbole ungeändert lässt^ ausser der identischen j so bilden die n-\ 

 Substiiutio7ien^ die alle Syjiibole versetzen^ zusammen mit der identischen 

 eine cliarakteristische Untergruppe. 



Ist die Gruppe ® der Ordnung g in der Gruppe <ö der Ordnung 

 gn enthalten, und ist sie darin mit n verschiedenen Gruppen conjugirt, 

 von denen je zwei theilerfremd sindj so enthält ^ eine und nur eine (clia- 

 rakteristische) Untergruppe der Ordnung n. Diese toird gebildet von allen 

 Elementen von Jö^ deren Ordnungen in n aufgehen. 



Auf Grund dieses Ergebnisses kann man dem Satze III, § 6 meiner 

 Arbeit Über endliche Gruppen, Sitzungsberichte 1 895, die genauere Fassung 

 geben : 



VI. Ist p eine Primzahl, und ist kein Divisor von n^ ausser 1 und n 

 selbst, congruent 1 (mod. p), ist p"n die Ordnung der Gruppe § und p^ die 

 des grössten gemeinsamen Theilers "D aller in ö enthaltenen Gruppen der 

 Ordnung p", so enthält § p°(n—l) Elemente^ deren Ordnungen mit n einen 

 Theiler gemeinsam haben. Sie erzeugen eine durch 'S theilbare charakteristische 



Untergruppe (E der Ordnung p^n. Ist ^ <ci, so ist -^ eine cyklische Gruppe, 



-^ entweder einfach oder das directe Product von mehreren isomorphen einfadien 



Gruppen, und -^ lässt sich als primitive Gruppe von Permtdationen von n 



Symbolen darstellen. 



Die k berechneten Charaktere y}'\R) (A = 0. 1 . . . A'-l) sind die 



Charaktere der mit ® isomorphen Gruppe ^y.. Der ^ ollständigkeit 

 halber bestimme ich noch die Wertlie der übrigen l-k Charaktere 

 von §. Ist A > /i und R mit einem Elemente P von ® conjugirt, 



so ist 



yS'){R) = xW(^) = ^>\A'^-''>{P) = »-x -<'» xlM{P). 



Ist P von E verschieden, so ist daher 'x}'^R) = 0. Ist aber P = E, 

 so ist 



(3.) .fx=9r,, {X = k,k+l,--l-\) 



Da f ein Theiler von h-—gn ist, so ist folglich 7\ ein Theiler von 

 n. Ist X <z k, so ist 



