Frobenius: Über auflösbare Grupjaen. IV. 1227 



(4.) f>.=^e>.- (X = 0,1,...A-1) 



Daher brauche ich von jetzt an die Bezeichnung e^ nicht mehr in 

 dem bisherigen Sinne. Beiläufig bemerke ich, dass nach Rel. § i (9.) 



^r, = 2xW(P) 

 p 



ist. Ist nun X<k, so ist -/.^(P) = ■v/.<''(f) und mithin 



(5.) n. = 0. (>. = 1,2,...A--1) 



Die Charaktere der Gruppe 5^ seien 



v^'-HQ)' (x=o,i,2...) 



und es sei jetzt cp''''\E) = e^. Da 5i eine invariante Untergruppe von 

 JÖ ist, so bestehen zwischen den Charakteren f/^'^HQ) von 9^ und den 

 Charakteren yJ-'^R) von iö nach Rel. § 2 folgende Beziehungen. 



Zu jedem Charakter ^^"^ giebt es eine Anzahl von Charakteren 

 (p^'"* , (p''''"\ ..., die mit (p'-"^ in i3 conjugirt sind. Ihre Zahl sei s^ ^ 

 *x' = *x" = • • • • Jedem Charakter t^*"* von 91 entsprechen ein oder 

 mehrere Charaktere %''',%*'*, ••■ von ^ in der Art, dass für jedes 

 Element Q von 51 



9'«)(Q) + 9'"''(Q) + •■•== -'4- x^'HQ) = '-^ x"--'(Q) = ■ • ■ 



ist. Umgekelirt entspricht jedem Charakter y}''' von JÖ «"iii Charakter 

 (^'"^ von 91 und die mit ihm conjugirten Charaktere. Jedem der s„ 

 Charaktere (/>'"',(/)*'''',... A^on ® entspriclit jeder der Charaktere y}''\ 

 y}^'K ■■■ und umgekehrt, und für zwei ents[)rechende Charaktere ist 



eine ganze Zahl. Ist %*^* gegeben, so sind x^^^x'^'» •■■ dadurch be- 

 stimmt, dass die n Werthe %*^HQ) ^^cn « Werthen %'^'(Q) jiroportio- 

 nal sind. Daher entsprechen dem Hauptcharakter </)'"' von 91 die A" 

 Charaktere 



x*"''X*''' ■■• x'^~'' 



und kein anderer Charakter x**"^- Denn sonst hätte dieser für alle 

 n Elemente Q von 91 denselben Werth / und wäre daher (Rel. § 4, I) 



ein Charakter von ". = ®, während diese Gruppe nur jene k Cha- 

 raktere besitzt. 



Ist ^ > 0, und sind 'X,"''(^) und y}^'^(R) zwei verschiedene oder 

 gleiche Charaktere, die dem Charakter (/)'"' (Q) entsprechen, so ist A > 7t-, 

 also y}'HR) = 0, falls R der Gruppe 91 nicht angehört. Daher ist 



S x^'HR-') x^^'Kii) = 2 x<'HQ-') x"-'>(Q) = fy- 2 x<''(Q-') x^lQ). 



