1228 Gesainnitsitzuiig vom 5. Deceniber. 



also da y^{Q) und 7j(Q~') conjugirte complexe Grössen sind, von Null 



A'erschieden (= '^'~gs^). Folglich ist 7j*'''(72) = %'''(J?). weil sonst jene 



Summe Null wäre. Einem Charakter </>'"' (Q) entspricht demnach nur 

 ein Charakter %"'(Ä), und folglich ist nach Itel. § 2 (4.) 



J'x=^gs,el, »•„>. = ^, 



also nach (3.) 



2 2 



ffr,, = f!^e^. 



Nun ist s^ ein Theiler von g, luid es sind r, und e^ Theiler von 7i, 

 also relativ prim zu g und 6„. Daher ist 



(6.) s^ = g, t\ = r,. = •— , r[>, = I . 



9 



In meiner Arbeit Über Gnqypenc/un-a/dere, Sitzungsberichte 1896, §7, 



(7.), habe ich gezeigt, dass 



K 



ist. Der Proportionalitätsfactor n ergiebt sich, indem man Q =^ E setzt, 

 aus der Formel n/^ =■ Jte^. Da <ö = ®91 ist, so kann R auf die 

 Form PN gebracht werden, wo P die Gruppe ® und iV die Gruppe ^ 

 durchläuft. Mithin ist 



cp(/?-i QR) = cp(-V-'P-' QPN) = 9(F-' QP), 

 und folglich ist 



(7-) x'*'(Q) = S9*^'(-P-'Q^)- (.>o, >.>/.) 



p 



Die r/ Charaktere cl>''''\P''' QP) sind also die s, verschiedenen mit (^'''' 

 conjugirten Charaktere ^i^'^Q), (^'"''(Q), ■•■. Wie schon oben gezeigt, 

 ist ■Xj*^*(ä) = 0, falls R der Gruppe 9^ nicht angehört. Damit sind die 

 / Charaktere von i3 vollständig bestimmt, falls die k Charaktere von 

 ® und die g(J — k) + 1 Charaktere von 9t bekannt sind. 



§5- 



Ist p^ die höchste in g aufgehende Potenz der Primzahl |j, so ist, wie 



Hr. BuRNsiDE gezeigt hat, jede in ® enthaltene Gruppe ^ der Ordnung 



p^ eine cyklische, ausser iüv p = 2, wo ^ auch die nichtcyklische Gruppe 



sein kann, die nur ein Element der Ordnung 2 enthält. Ist ferner, in 



Primfactoren zerlegt, 



n = a" h^ €"■' • • • , 



SO hat er gezeigt, dass g höchstens gleich einer der Zahlen 

 (l.) a"-l, 6=-l, f'-i, •-. 



