Frobenius: Über auflösbare Gruppen. IV. 122') 



sein IvJinn. Das letzte Resultat lässt sieh auf die genauere Form bringen, 

 dass g ein gemein.samer Divisor der Zahlen (i.) sein muss, und es lässt 

 sich noch schärfer fassen, wenn nicht nur n, sondern auch die Consti- 

 tution von 91 l)ekannt ist. 



Sei 31 eine in 9^ enthaltene Gruppe der Ordnung a". Jede in i3 mit- 

 halten e Gruppe der Ordnung a" ist mit Sl conjugirt, also auch in der 

 invarianten Untergruppe 9^ enthalten. Bilden die mit 51 vertauschbaren 

 Elemente von 9^ eine Gruppe der Ordnung a" r, so enthält 9^, also auch i) 



■/( A 



a" r g a"r 



verschiedene Gruppen der Ordnung a". Daher bilden die mit Sl A^er- 

 tauschbaren Elemente von § eine Gruppe 31' der Ordnung ga"r. Ist ji^ 

 die liöchste in g aufgehende Potenz der Primzahl j), imd ist ^ eine 

 Gruppe der Ordnung p^ in 31', so sind die Gruppen *53 und 31 vertausch- 

 bar, weil 31 eine invariante Untergruppe von Sl' ist, und folglich ist ^21 

 eine Gruppe der Ordnung p^a" in 21'. Da die Ordnung a" ihrer inva- 

 rianten Untergruppe 21 zu p'' theilerfremd ist, so enthält diese Gruppe 

 genau a" Elemente, deren Ordnung eine Potenz von n ist, und als Unter- 

 gruppe von i5 enthält sie kein Element, dessen Ordnung durch |j und a 

 theilbar ist. Daher enthält sie (// — 1) a" + 1 Elemente, deren Ordnung 

 eine Potenz \onp ist, und dies ist nur möglich, wenn sie a" Gruppen der 

 Ordnung p*' enthält, von denen je zwei theilerfremd sind. Diese Gruppe 

 ^^Sl genügt also denselben Bedingungen , wie die Gruppe ®9l , und mit- 

 hin ist p^ ein TJieiler von a" — 1. 



Man bestimme nun fiir 31 eine lückenlose Reihe charakteristischer 

 Untergruppen 



e, 21,, 21,, 2(3, ... 21 



von den Orchiungen 



1 , a"', n"' + "', a"' + '"+''', ... a". 



Sil i^t eiiie charakteristische Untergruppe von Sl, und 31 eine in- 

 variante Untergruppe von ^^*Sl. Daher ist Slj auch eine invariante Unter- 

 gruppe von ^31, also ist Slj mit *P vertauschbar. Die Gruppe ^31; 

 hat dieselben Eigenschaften, die oben für ^31 bewiesen sind, und mit- 

 hin ist cf—\ durcli />'■ theilbar. Dasselbe gilt A'on der (rruppe 



x\%, _ mi^ 21, 



21, ~ 2I1 '2l7' 

 und mithin ist auch a," — \ durcli p'' theilbar. Ist cc' der grösste ge- 

 meinsame Divi.sor A'on cc^. a.^, a^. . . . , so ist a" — \ der grös.ste gemein- 

 same Divisor von «"—1 , a"'-\ , a"'- l , . . . . Folglich ist «"'-1 durch 

 p^ theilbar, und da dies für jede in ?* aulgehende Primzahl potenz gilt, 

 so ist a"'-\ durch n theilbar. 



