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Über auflösbare Gruppen. V. 



Von G. Fkobenius. 



In meiner Arbeit TJber auflösbare Gruppen IV., die ich hier mit A. IV 

 citiren werde, habe ich in § 3 einen speciellen Satz entwickelt, der 

 sich in folgender Art verallgemeinern läs.st: 



I. Ist p'' die höchste Potenz der Primzahl p_, dit^ in der Ordnung einer 

 (i?'uppe § aufgeht^ und ist jedes mit irgend einer Zhitergruppe der Ord- 

 nung p'" vertauschbare Element von ö^ dessen Ordnung nicht durch p theilbar 

 istj mit Jedem Elemente der Untergruppe vertauschbar, so hat ^ eine charakte- 

 ristische Untei'gruppe vom Index p''j, gebildet aus allen Elementen von i^^ 

 deren Ordnungen nicht durch p theilbar sind. 



Aus dem Satze A.II, ij 2 folgt daher: 



II. Ist p^ die höchste Potenz der Primzahl pj, die in der Ordnung einer 

 Gruppe § aufgeht j und ist die Anzahl der mit irgend einer Untergruppe Q 

 der Ordnung p" vertauschbaren Elemente von § ■sw ^(0) theilerfremd , so 

 enthalt ^ eine charakteristische Untergruppe des Index p' . 



Ist 



0= Q0 + Q1+ ••■ + Q,„-i 



eine Gruppe der Ordnung m . die mit dem Elemente R vertauschbar 

 ist, und ist R'QR^= Ql, so ist auch 



0== Qo+q[ + --- + q:.,-,. 



Den so erhaltenen Isomorphismus von ü in sich oder kurz Automorphismus 

 von Q bezeichne ich mit [R), imd ich sage, er werde durch das Element R 

 bewirkt. Die Ordnung atju [R) ist ein Theiler der Ordnung von R. 

 Gehört das Element R der Gruppe § an, so sage ich auch, der Auto- 

 mor])hismus {R) sei in i3 enthalten. Die in Q enthaltenen Automor- 

 phismen von Q nenne icli innere, die Automorphismen. die nicht innere 

 sind, äussere. 



Die Voraussetzung des Satzes I. besagt dann, dass Ö nur solclie 

 Automorphismen irgend einer Untergruppe der Ordnung p" enthält, 

 deren Ordnungen in p^ aufgehen. Und zu dem Satze II. fuhrt die Be- 

 merkun«,- (vergl. Bükn,side. Theory of groups, § 175), dass die Ordnung 

 eines Automorphisnuis von Ü. wenn sie nicht durch ^ theilbar ist. ein 

 Divisor A'on S-(Ü1 sein nmss. 



