FROBENtus: Über auflösbare Grup])en. V. 1325 



Sei p^n die Ordnung von ^. also n nicht durch p theilbar, und 

 sei ^ eine in i3 enthaltene Gruppe der Ordnung />'. Dann stützt sich 

 der Beweis auf zwei Ilülfssätze: 



Lemma I: Ist ein Element oder eine Untergruppe von ^ mitjy" Elementen 

 von ^ und mit p ^a Elementen, von § vertauschhar. so i^t a nicht durch p theilbar. 



Die Elemente von %\, die mit einem Elemente A von ^P vertausch- 

 bar sind, bilden eine Gruppe 5?, die mit ^ vertausehbaren eine Gruppe 2, 

 die mit Ö A'ertauschbaren eine Gruppe Wl u. s. w. Ist ö kleiner als ^, 

 so ist ?0i grösser als 2. In der Reihe 



(A) .4. i?, e, 5)t, ... «, %> 



ist daher die letzte Gruppe gleich %''. 



Sei 31 ein Glied der Reihe (A), entweder das Element A, oder 

 eine der Gruppen 9t, ö, 9)i, ... , und seien 5? und S die beiden auf 

 31 folgenden Glieder, p"^ und p"'' die Ordnungen dieser Gruppen. Die 

 mit 21 vertauschbaren Elemente von ^ bilden die Gruppe 'iB, die mit 

 5? vertausehbaren die Gruppe ß. Die mit 21 vertauschbaren Elemente 

 von § bilden eine Gruppe 21' der Ordnung p^a, die mit 53 vertausch- 

 baren eine Gruppe S' der Ordnung p'^b. Ist S = 5t die vorletzte, 

 6 = ^ die letzte Gruppe der Reihe (A), so ist y = X, also b nicht 

 durch p theilbar. Ist 2? irgend eine Gruppe der Reihe (A), für die 

 b nicht durch p theilbar ist, so ist, wie ich zeigen werde, auch a 

 nicht durch p theilbar. Indem man dann für 23 der Reihe nach die 

 Grupjjen 51 , . . . , 2 , ^ setzt , erhält man den Beweis der Behauptung. 



Bedeutet das Zeichen 23> 21, dass 23 durch die Gruppe oder das 

 Element 21 theilbar ist, so ist, weil Ö > ^ ist, 

 Sl < 5B < Sl', 31 < §8 < e < S'. 



Der grösste gemeinsame Theiler 1) von 21' und S' wird von allen Ele- 

 menten der Gruppe § gebildet, die sowohl mit 21 als auch mit 23 

 A'ertauschbar sind. ® besteht aus allen Elementen von 21', die mit ^ö 

 vertauschbar sind: "D besteht aus allen Elementen von 23', die mit 21 

 vertauschbar sind. 



Jedes Element von S' ist mit 23 vertauschbar. Jedes Element 

 von S', dessen Ordnung in b aufgeht, also nicht durch p theilbar ist, 

 ist nach Voraussetzung mit jedem Elemente von 23, demnach auch mit 

 21 vertauschbar, ist daher in 21' und folglich in © enthalten. Mithin 

 ist die Ordnung von ® durch b theilbar. und weil sie in p'^'b aufgeht, 

 gleich p''b. © besteht aus den Elementen von 23', die mit 21 vertausch- 

 bar sind. Daher ist 21 mit p''b Elementen von 23' vertauschbar. Trans- 

 formirt man alsn 21 mit den p~''b Elementen A'on 23'. so erhält man 



