132ö Gesamintsitzuiig vom 19. December. 



verseliicdene Gruppen (Elemente), die sämmtliclien, die mit 51 in 'iB 

 conjugirt sind. Dass sich hier der Factor J) hebt , ist der Kernpmikt 

 des Beweises. Die mit 21 vertauschbaren Elemente von ß bilden die 

 Gruppe 53. Transformirt man daher 5[ nur mit den Elementen von 

 (E, so erhält man ^^"'^ ^verschiedene Gruppen (Elemente). Da 53' > ß 

 ist, so ist J9 ■>■-*> ;)"'-'^% «^</3, also weil ®>S ist, 8 = [6. 



Nun benutze ich den Satz [Über endliche Gruppen, § 2, V; 1895): 



Ist p' die höchste Potenz der Primzahl p^ die In der Ordnung einer 

 Gruppe § aufgeht, ist jc < A, und ist ^ eine in § enthaltene Gruppe der 

 Ordnung p'j, so bilden die mit Ä vertauschbaren Elemente von ö fine 

 Gruppe ^', deren Ordnung die Primzahl p in einer Höheren als der 

 >c'"' Potenz enthält. 



^ besteht aus den Elementen von 21', die mit der Gruppe 5? der 

 Ordnung p^ A-ertauschbar sind. Wäre nun a durch j> theilbar, so wäre 

 die Ordnung p'^a von 21' durch p^'^^ theilbar, und folglich auch die 

 Ordnung p^^b von T), während b nicht durch p theilbar ist. Mithin 

 ist a nicht durch p theilbar, und die Ordnungen der beiden Gruppen 

 2? und 21' enthalten den Primfactor p genau in der gleichen Potenz. 



Da ($' = /3 ist, so erhält man die jt?"'"" verschiedenen Gruppen 

 (Elemente), die mit 21 in 23' conjugirt sind, schon sämmtlich, indem man 

 21 mit allen Elementen von (£ transformirt. Sie sind also alle (in 23 

 enthalten und) schon in S mit 21 conjugirt. 



Lemma II: Zwei in § conjitgirte Elemente oder Vntergnippen von ^ 

 sind auch schon in ^ conjugirt. 



Sei ^4, ein Element von ^ und 



die zu A^ in ^ gehörige Reihe. Sind A und A^ in ^ conjugirt, so 

 nenne ich A und ^j , ^ und ^, , i' und 2, , ... entsprechende Glieder 

 beider Reihen. Seien 21 imd S zwei auf einander folgende Glieder 

 der Reihe (A), 2li und ^1 die entsprechenden der Reihe (AJ. Ist 

 dann 21, = H~^%\H mit 21 in ^^ conjugirt, so ist auch 23, mit 23 con- 

 jugirt: Denn unter Beibehaltung der oben eingeführten Bezeichnungen 

 bilden die mit 21 vertauschbaren Elemente von ö die Gruj)pe 21' der 

 Ordnungp'^a, wo a nicht durch p theilbar ist, also die mit 2l, = fi~'2lÄ 

 A'crtauschbaren die Gruppe H'^WH dersell)en Ordnung. Die mit 21, 

 vertauschbaren Elemente von *P bilden die Gruppe 23,. Dalier ist nach 

 dem Lemma I die Ordnung von 23, gleich p^. 



21, ist mit jedem Elemente von 23, vertauschbar, also 21 ^ H^^H'^ 

 mit jedem von H^^H~\ Mithin sind 23 und H^,H~^ zwei Gruppen 

 der Ordnung p'^, die in der Grujjpe 21' der Ordnung p^a enthalten 

 sind. Folglich sind sie nach dem SvLOw'schen Satze in 21' conjugirt, 



