Fkobenius: Über auflösbare Gruppen. V. 1.32/ 



H'^.H-' = A'-''BÄ'. wo A' ein Element von 51' ist. Ist also AH = G, 

 so ist, weil ,-1' mit 51 vertauscliliar ist, 



r,-'?(r; = ?i:, g-'33G = 81. 



Setzt man für 51 nach einander die Glieder A, ^. 2, S)t. ... der 

 Reihe (A), so erkennt man. dass je zwei entsprechende Glieder der 

 Reihen (A) und (Ai) in i3 conjugirt sind, also dieselbe Ordnung haben, 

 und dass beide Reihen aus gleich vielen Gliedern bestehen. Endlich 

 kann man ein Element G finden, das gleichzeitig 21 in 51; und S in 

 5?i transformirt. 



Die letzten Glieder beider Reihen sind gleich %^, also in %!> con- 

 jugirt. Demnach ist nur noch allgemein zu zeigen: Sind die Gruppen 

 5? und 5?i in ^ conjugirt, so sind es auch die ihnen vorangehenden 

 51 und 51,. Sei also Q ein Element von ^ und G-^SG = 5?i = Q-'^Q. 

 Dann ist GQ"' = B' mit 5? vertauschbar, also in ^' enthalten. Jede 

 Gruppe (Element) B'~'^[B' von 5^', die mit 51 in S' conjugirt ist, ist 

 aber, wie oben gezeigt, mit 51 schon in 6 conjugirt. Demnach ist 

 5'-'5lJ5' = P-'51P, wo P < 6 < ^13 ist; also, da G = B'Q ist, 

 Sil = G-'21G = Q-'(ß'-'5lß')Q = Q-M^'21P)Q. 



imd folglich 



Sl, = (PQ)-'2l(PQ), 



Avo PQ ein Element von ^ ist. 



Setzt man nun fiir 55 nach einander '*p , 5^ . ■ • • 9)t , ? , 5^ , so erkennt 

 man schliesslich, dass A und A^ in '*p conjugirt sind. 



Jetzt sei fR die Commutatorgruppe von ^, und p- ihre Ordnung. 

 Nach A. IV, Satz I. folgt dann aus dem zweiten Lemma, dass die Gruppe § 

 der Ordnung j3'w eine durch 91 theilbare charakteristische Untergruppe 

 der Ordnung p-n hat. Da p < X (sogar p < A — 2) ist, kann man für diese 

 Gruppe den Satz I. schon als bewiesen annehmen. Sie hat also eine 

 charakteristische Untergruppe der Ordnung n, und diese ist auch eine 

 solche für die Gruppe §. Da n und p'^ theilerfremd sind, besteht sie 

 aus den n Elementen von »ö , deren Ordnungen in n aufgehen. 



Die Voraussetzung des Satzes I. braucht nicht für jede Unter- 

 gruppe von %^ erfüllt zu sein, sondern nur für die Untergruppen 

 ^ ,Q, 5)J . • ■ • ^p , die man erhält , indem man zu jedem Elemente A von ^ 

 die zugehörige Reihe (A) bestimmt. Diese Grupj^en sind alle durch 

 die aus den invarianten Elementen von ^ gebildete Gruppe <B theilbar, 

 und wenn eine von ihnen eine commutative Gruppe ist, so kann dies 

 nur die unmittelbar auf A folgende Gruppe Jf sein. 



Die genaueste Fassung des Satzes I. ist die folgende: 



III. Sei p eine Brimzafd, n nicht durch p theilbar^ i3 ci'>^^ Gruppe der 

 Ordnuny p'n^ %^ eine Untergruppe der Ordnung p\ ?{ die Coimnutcdor- 



