] 328 Gesnninitsitzuiig vom 19. Deeembei-. 



(jru'ppe von ^,<j)' ^^"''' Ordnung. Ist dann A Irgend ein Element von %''. 

 und Aj ^ ,2.. ■■■ j^lj%^ die zugehörige Reihe ^ so sei jedes Element von §, 

 dessen Ordnung nicht durch p theilbar ist, und das mit einem GUede dieser 

 Reihe vertauschhar ist. auch mit dem vorhergehenden GUede vertauschbar. 

 Dan7i hat i3 di^c durch D^ theilbare charakteristische Untergruppe der 

 Ordnung p-n^ die alle Elemente von § umfasst, deren Ordnungen in n 

 aufgehen. 



Nehmen wir umy,ekelirt an. eine Gru})pe i3 t^^i" Ordnung' p' n, 

 Avo n nicht durch die Primzahl p theilbar ist, habe eine invariante 

 Untergruppe 91 der Ordnung n. Sei ß eine Untergruppe der Ord- 

 nung jp'', die mit ß A^ertauschbaren Elemente A'on § mögen die Gruppe 23 

 der Ordnung p'^d bilden, wo d ein Theiler von n ist. Ist 'S) der grösste 

 gemeinsame Divisor von 51 und S, so ist seine Ordnung d' ein Theiler 

 von d. Da 91 mit jedem Elemente \o\\ 2? vertauschbar ist, so hat 



die Gruppe 9193 die Ordnung np'' ., , und da diese Zahl ein Theiler 



von p^n ist, so ist d' ^=^ d. Ferner ist D eine invariante Untergruppe 

 von 23, und weil d und p^' theilerfremd sind, bestellt ® aus allen 

 Elementen von 23, deren Ordnungen nicht durch p theilbar sind. 

 Demnach sind ß und © zwei invariante Untergruppen von 23. deren 

 Ordnungen theilerfremd sind. Folglich ist jedes Element von 6 mit 

 jedem von 1) vertauschbar. Jedes Element von §, dessen Ordnung 

 nicht durch p theilbar ist, und das mit ß vertauschbar ist, muss also 

 mit jedem Elemente von ß vertaxischbar sein. 



Ist ^ eine commutative Gruppe {A. III, § 3), so ist ihre Commutator- 

 grupjje 9i die Hauptgruppe. Ist dann jedes mit^ vertauschbare Element 

 von §, dessen Ordnung nicht durcli p theilbar ist, mit jedem Elemente 

 von ^ vertauschbar, oder ist n zu S^(^) theilerfremd, so hat Jö ""hie 

 charakteristische Untergruppe der Ordnung n. 



Ist jedes Element von ^5 mit mindestens p"^ Elementen von ^ ver- 

 tauschbar (^'1.7U, § 3), so besteht die Reihe jedes nicht invarianten Ele- 

 ments A nur aus drei Gliedern, ^4,2,^*. Ferner besteht dann $R aus 

 lauter invarianten Elementen von ^ (Burnside, Theory of groups, p. 379). 

 Denn ist Q eine in ^ enthaltene Gruppe der Ordnung p''~\ so ist Ü eine 



invariante Lntergruppe von ^, und ^.^ eine commutative Gruppe. Da- 

 her ist O > 5H. Ist A ein invariantes Element von ^, so ist A auch mit 

 jedem Elemente a^ou 9t vertauschhar. Bilden aber die mit A vertausch- 

 bareu Elemente von ^ eine Gruppe ö der Ordnung p'~\ so ist 2 > 9t. 

 Demnach ist jedes Element A^on 9t mit jedem Elemente A xon ^ A-er- 

 tauschbar. Die Voraussetzung des Satzes I. braucht also nur für ^^^ sell)st. 

 für die Grupjien ? der Ordnungyj'"'. die den nielit invarianten Elementen^l 



