Frobenius: l'her aiif'lösliare Gruppen. V. 1H29 



zugehören, und für die commutative Gruppe $R erfüllt zu sein. Dann 

 hat *ö eine charakteristische Untergruppe der Ordnung n. 



Als eine Anwendung der entwickelten Principien beweise ich den 

 Satz des Hrn. Burnside: Sind p, q, r drei verschiedene ungerade Prim- 

 zahlen, so ist jede Gruppe § der Ordnung h ^ p'^qr auflösbar. Denn 

 jede Untergruppe von § ist auflösbar, weil ihre Ordnung ein Product 

 von höchstens 5 ungeraden Primzahlen ist. Ist also i5 nicht auflösbar, 

 so ist .'ö eine einfoche Gruppe, p muss die kleinste der drei Primzahlen 

 sein. Daher ist n = qr z\ip--\ tlieilerfremd. .s3 hat keine Untergruppe 

 der Ordnung\p*5' (oder^*r ). Denn sonst lässt sieh ß als transitive Gruppe 

 des Primzahlgrades r darstellen. Eine solche ist aber nach einem Satze 

 des Hrn. Burnside, wenn sie nicht auflösbar ist, zweifoch transitiv. 

 Dann ist aber ihre Ordnung durch r (r — 1) theilbar, also eine gerade 

 Zahl. Mithin ist ^' = ^ und, wenn 5t eine in ^ enthaltene Gruppe 

 der Ordnung p^ ist, auch 9V = ^. Demnach enthält i3 gai" kein Ele- 

 ment, dessen Ordnung in n aufgeht, und das mit Q = ^ oder D = 9t 

 vertauschbar ist. Ist aber die Ordnung von gleich p oder p', so ist 

 n zu 3- (0) theilerfremd. Folglich hat S^ eine invariante Untergruppe 

 der Ord"nung n. 



Ist A ^ 4, so genügt es in der Regel zur Anwendung des Satzes I, 

 dass n zu p'—l theilerfremd ist. Eine Ausnahme bilden nur die beiden 

 Fälle, wo ^ eine lineare Gruppe der Ordnung p* ist, und wo ^ nicht 

 commutativ ist, aber eine lineare Gruppe der Ordnung p' enthält. Der 

 weitere denkbare Ausnahmefall ist ausgeschlossen nach dem Satze des 

 Hrn. YouNG, dass es keine Gruppe 'ip giebt, die aus der Gruppe ® 



der Ordnung p und der linearen (Jruppe -^ der Ordnung ;/ zusammen- 



ß'esetzt ist. 



