Schwarzsciiild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes 191 



ds 2 = Fdt 2 — G (dx 2 -+- dy 2 -f- dz 2 ) — H (xdx -+- ydy -+- zdz) 2 



wobei F, G, II Funktionen von r = Vx 2 -+- y 2 -+- z 2 sind. 



Die Forderung- (4) verlangt: Für r = 00: F = G = 1 , H = o. 



Wenn man zu Polarkoordinaten gemäß x = r sin 9- cos <p , y = 

 r sin 9- sin </> , z = r cos 9 übergeht, lautet dasselbe Linienelement : 



r/s 2 = .FY^ 2 — G(rfr 2 + r 2 d9 2 -t-r- 2 sin 2 §d(p 2 ) — Hr 2 dr 2 

 = Fdt 2 — (G + #r 2 ) dr 2 — Gr 2 (tf9 2 + sin 2 9dc/> 2 ). 



Indessen ist das Volumenelement in Polarkoordinaten gleich 

 r 2 sin §drd§d<p , die Funktionaldeterminante der alten noch den neuen 

 Koordinaten r 2 sin 9 ist von 1 verschieden ; es würden also die Feld- 

 gleicliungen nicht in unveränderter Form bestehen, wenn man mit 

 diesen Polarkoordinaten rechnete, und man würde eine umständliche 

 Transformation ausführen müssen. Ein einfacher Kunstgriff gestattet 

 jedoch, diese Schwierigkeit zu umgehen. Man setze 



x, = — , x, = — cos 9-, x 3 = cp. (7) 



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Dann gilt für das Volumenelement: r 2 dr sin 9d9tf^> = dr l dx 2 dx i . Die 

 neuen Variablen sind also Polarkoordinaten von der Determi- 

 nante 1 . Sie haben die offenbaren Vorzüge von Polarkoordinaten für die 

 Behandlung des Problems, und zugleich bleiben für sie, wenn man 

 noch t = x A hinzunimmt, die Feldgleichungen und die Determinanten- 

 gleichung in unveränderter Form erhalten. 



In den neuen Polarkoordinaten lautet das Linienelement: 



ls 2 = Fdx 2 — ( — + —\ dx 2 — G / 



ds 

 wofür wir schreiben wollen: 



— --+■ dx\{\ —x\) 



(8) 



ds 2 = / 4 dx] — /, dx] —f a V — f 3 dx\{i—x\). (9) 



Dann sind /, , /, = f 3 , f 4 drei Funktionen von x, , welche folgende Be- 

 dingungen zu erfüllen haben: 



1 . Für x, = 00 : /, = ~j = (3 ;r,)- 4/3 , /„ =/ 3 = r a = (3 x z )" 3 , * 4 = l • 



2. Die Determinantengleichung: /, •/> -/j •/, = i. 



3. Die Feldgleichungen. 



4. Die / stetig, außer für x s = o . 



§ 4. Um die Feldgleichungen aufstellen zu können, muß man 

 zunächst die dem Linienelement (9) entsprechenden Komponenten des 

 Gravitationsfeldes bilden. Es geschieht dies am einfachsten, indem 



