Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel 425 



Es sei noch: 



T= %T; = p — SP (4) 



und: K = 8 7T k 2 , 



wo k : die GAusssche Gravitationskonstante ist. Dann lauten nach 

 Hrn. Einstein (diese Berichte 1915,8.845, Gl. 2a) die rechten Seiten 

 der Feldgleichungen : 



g„„ = -*(?;,— ^» T >- <5) 



Damit die Flüssigkeit im Gleichgewicht ist, müssen die Bedingungen 

 (ebenda GL 7a) 



erfüllt sein. 



>j 3. Genau wie beim Massenpunkt sind auch für die Kugel die 

 allgemeinen Gleichungen auf den Fall der Rotationssymmetrie um den 

 Nullpunkt zu spezialisieren. Wie dort, empfiehlt es sich, die Polar- 

 koordinaten von der Determinante 1 : 



r 3 

 x, = — , x 3 = — cos S-, x 3 = </> , x A = t (7) 



einzufuhren. Das Linienelement muß dann, wie dort, die Form haben: 



ds ' = /, d.r -/, dx\ -f 2 -^^ -/, äx\ (i-xl), (8) 



so daß man hat: 



f 



;/,, = — /, • 9» = — ^-±-; , .'/ 33 = — / 2 (i— xl) , 9« =L 



(die übrigen g a „ = o) . 



Dabei sind die / Funktionen nur von x z . 



Auch ergeben sich für den Raum außerhalb der Kugel die dortigen 



Lösungen (10), (1 1), (12): 



/ 4 = 1- «(3a-, + p)-"' 3 , /, = (3*. + p) 3/3 , /./tf = 1 , (9) 



wobei et und p zwei zunächst willkürliche Konstanten sind, die sich weiter- 

 hin aus Masse und Radius unsrer Kugel bestimmen müssen. 



Es bleibt die Aufgabe, die Feldgleichungen für das Innere der Kugel 

 mittels des Ausdrucks (S) des Linienelements anzusetzen und zu lösen. 

 Für die rechten Seiten erhält man der Reihe nach: 



