Frobenius: Über die Koinpositionsreihe einer Gruppe 54H 



ein Teil von B ist. Dann ist aber 6' eine invariante Untergruppe von 

 (£, und 



II. Eine einfache Teilgruppe einer Gruppe ist ein Teil eines der ein- 

 fachen Kompositionsfaktoren derselben. 



Ist 81' eine invariante Untergruppe von 31, so sind die einfachen 



?l 

 Faktoren von 31 die von 31' und die von -—-, zusammengenommen. Daher 



kann man den Satz auch so aussprechen: 



III. Ist 31' eine invariante Untergruppe von 31, so ist eine einfache 



Teilgruppe von 31 ein Teil von 31' oder von -^— . 



Sei ß oo -^, eine einfache Teilgruppe von 31. Wenn man ver- 

 schiedene Untergruppen 33 von 31 finden kann, die mit B homomorph 

 sind, so wähle man 33 möglichst klein. Ist 31' durch 33 teilbar, so ist B 

 ein Teil von 51'. Ist 51' nicht durch 33 teilbar, so sei £> der größte ge- 

 meinsame Divisor und (£ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der 

 Gruppen 31' und 33, <D = dv (31', 33) und d = mp (31', 33). Dann ist £> 

 eine invariante Untergruppe von 33, und 



(Über endliche Gruppen § 1, V; Sitzungsber. 1895, S. 169.) 



Ich werde nun zeigen, daß -=- homomorph B ist. Dann ist B 



§ 31 



auch ein Teil von ^— , also auch von «^ . 



Da -D invariant in 33 ist, so gibt es eine Reihe 33 , 33, , 33 2 , • • • . 



33 

 der £> angehört, l D = 33,., wo A > ist. Weil -^7- eine einfache 



Gruppe ist, so gibt es eine Reihe 53, 53', 33",- • • Daher ist 



23 23, 



und zwar ist jc = 0, weil 33 möglichst klein gewählt ist. Nun ist 

 <£> = 33,. invariant in 53, also auch in 53,. Daher ist 

 D 33 33 23 33, 



23 21 



homomorph =■ , und demnach ist B ein Teil von ^y . 



§2. 

 Eine Gruppe B heißt ein wesentlicher Teil von 51 , wenn B ein Teil 

 jeder mit 51 homomorphen Gruppe (außer der Hauptgruppe @ 00 -~r) 



