Frobenius: Über die Kompositionsreihe einer Gruppe 54o 



Ist also jetzt 21 die Gruppe höchster Ordnung, von der A ein 

 wesentlicher Teil ist, so ist 21 (— ß) durch 23 teilbar, und wenn beide 

 dieselbe Ordnung haben, so ist 23 = 21. Insbesondere ist 23 = 21, wenn 

 23 mit 2t isomorph ist. Folglich ist 21 eine charakteristische Unter- 

 gruppe von ©. 



A ist nicht ein Teil von == . Denn sonst sei -^ eine Untergruppe 



von -==- , von der A ein wesentlicher Teil ist, und sei (£' irgendeine 



echte invariante Untergruppe von 6. Ist (£' durch 21 teilbar, so ist 

 A ein Teil von 



6' — §1 : 91 ' 

 Ist aber £' nicht durch 21 teilbar, so ist, wie oben, A ein Teil von 



also auch von -^ . Mithin wäre A ein wesentlicher Teil von (E, wäh- 



rend (£ größer als 21 ist. 



Sei 23 irgendeine invariante Untergruppe von @, derart, daß A 



kein Teil von -j| ist. Sei £ = mp (21, 23) und © = dv (21, 53). Dann ist 



e 51 



Wäre T» kleiner als 21, so wäre A ein Teil von ^r , also auch von =;, 

 mithin auch von ^- . Da dies nicht der Fall ist, so ist $5 = 21, folg- 



lieh ist 23 durch 21 teilbar, und wenn beide dieselbe Ordnung haben, 

 so ist 23 = 21. 



§3- 



Sei © eine primitive Gruppe von Permutationen von n Symbolen 

 0, 1 , • • • 11 — 1 . Die Substitutionen, die ein Symbol ungeändert lassen, 

 bilden eine Gruppe © . Diese ist, wenn © primitiv ist, eine maximale 

 Untergruppe von ©: Ist © > 9t > © , so muß 5R = © oder = © sein. 



VI. Ist A eine einfache Teilgruppe von © , so versetzen die Substitu- 

 tionen der ihr entsprechenden charakteristischen Untergruppe 21 von © die 

 n — 1 Symbole 1 , 2, • • • n — 1 sämtlich. 



Ist © primitiv, so versetzen die Substitutionen von © die n — 1 

 Symbole 1 , 2 , ■ • • n — 1 sämtlich, außer wenn die Ordnung von © eine 



