550 Gesamtsitzung ram 4. Mai 1916. — Mitteilung vom 30. März 



LaWorten: Für bedingt periodische Bewegungen ist die Ein- 

 teilung des Phasenraums in Elementargebiete dadurch ge- 

 geben, daß von Grenze zu Grenze die Wirkungs variablen 

 nach Vielfachem von hJ2- fortschreiten, während die Winkel- 

 variablen zwischen die Werte o und 2t eingeschlossen sind. 

 § 3. Entartende Fälle. Wenn die Darstellung der Bewegung 

 des Systems allgemein mit Hilfe von weniger als k Winkelvariablen 

 möglich ist — mit andern Worten, wenn eine oder mehrere mittlere 

 Bewegungen n t für beliebige Werte der ot, verschwinden, so soll vor- 

 stehende Regel nur für die Variablenpaare w,, a, »mit mittlerer Bewe- 

 gung « gelten, während keine Einteilung des Phasenraums nach den übrigen 

 Paaren von Variablen il\, « x (»ohne mittlere Bewegung«) erfolgt. Diese 

 Ergänzung der Vorschrift wird nahegelegt durch die Bemerkung, daß 

 für eine verschwindende mittlere Bewegung n k infolge der Gleichung 



dF 

 n = „ — = o die Energie unabhängig von der Variablen ac, wird, diese \ a- 



riable also keine Beziehung zu dem energetischen Vorgang im System hat. 



§ 4. Normierung der Variablen. Grenzen des Phasen- 

 raums. Wenn man statt der «t\ irgendwelche lineare Funktionen 

 neuer Variablen w', mit ganzzahligen Koeffizienten einführt, so werden 

 die .f,, y, auch periodisch von der Periode 2ir in diesen neuen Varia- 

 blen w[. Die zugehörigen neuen kanonischen Variablen a' k werden 

 lineare Funktionen der «, mit ganzzahligen Koeffizienten, da sich 

 bekanntlich die beiden Gruppen kanonischer Variablen bei linearen 

 Substitutionen kontragredient transformieren. 



Hat man für ein mechanisches Problem die Darstellung der Be- 

 Avegung durch eine Anzahl der Zeit proportionaler Winkelvariablen ic. 

 gefunden, so kann sich nachträglich herausstellen, daß zwischen den 

 mittleren Bewegungen n> dieser Winkel eine oder mehrere Kommen- 

 surabilitäten der Form bestehen: 



O = p.n, -\-pjl, ■ ■ • p k n k (die p x ganze Zahlen). 



Dann kann man durch eine Substitution der ebengenannten Art statt 

 einer Anzahl der Variablen u\ neue Variablen w' ; : 



q.Wj = p,W, -HJ0 2 "' 2 • • • Pk w k ,di,> 2»6 anze Zahlen) 



einführen, welche die mittlere Bewegung null haben. Wählt man die 

 <7; geeignet (z. B. so, daß sie die Determinante der p als Faktor ent- 

 halten), so ergibt die Auflösung nach den ;ü, diese als ganzzahlige 

 Funktionen der iv- . Man kann auf diese Weise die Winkelvariablen 

 immer in zwei Gruppen trennen, so daß den Variablen der ersten 

 Gruppe die mittlere Bewegung null zukommt, während zwischen den 



