Schwarzschu-d : Zur Quantenhypothese 553 



nicht die gesuchten Winkel w x sein. Es gibt jedoch einen Fall, der 

 sich bei den wichtigsten Problemen darbietet, in welchem man aus 

 der partiellen Differentialgleichung direkt auf die gewünschten Variablen 

 kommt. Man nehme an, daß die Variablen x { als periodische Funk- 

 tionen der Periode 27r von ebensovielen Hilfsvariablen »),■ dargestellt 

 seien und daß eine Lösung der partiellen Differentialgleichung in den 

 Variablen *;, gefunden sei von folgender Form : 



S = a, *), -+- a 2 yi 2 -+- • • • u, k v\ k ■+- T («,- , v)j) , 



wobei die #, Integrationskonstanten sind und T eine Funktion dieser 

 Konstanten und der Variablen v\ k ist, die wieder periodisch von 

 der Periode 2ir in den Variablen Y\ x ist. 

 Dann folgt: 



dS ^ dS 3*, x _^ 9*i, dT 3^ 3S 3T 



aXf 'T* »j x d #, 7 da;,- *j x d ^ 0^ d <* x 



Aus dem ersten Gleichungssystem folgt, daß die y t , ebenso wie 

 wir es für die x { vorausgesetzt hatten, periodische Funktionen der 

 Periode 2 1: der Variablen r)> sind. Aus dem zweiten Gleichungssystem 

 folgt, daß sich *] x und w K gleichzeitig um 2ir vermehren. Kehrt man 

 das Gleichungssystem um, indem man die v\ x als Funktion der w> x aus- 

 drückt, so erzielt man daher Beziehungen der Form: 



•^ = iv, -t- Periodische Funktion (Periode 21:) der Variablen w { . 



Demnach sind die *i x und damit auch die #,• und y ; periodische 

 Funktionen der u\ von der Periode 2 ir. Die Variablen vo x sind Winkel 

 der verlangten Art, die kanonisch zugeordneten Variablen as x sind die 

 von uns gesuchten Wirkungsvariablen — natürlich von der Normie- 

 rung und der Berücksichtigung der Grenzen des Phasenraumes ab- 

 gesehen. 



Die unten folgenden Beispiele werden lehren, wie einfach sich 

 hiernach die Bestimmung der Wirkungsvariablen gestalten kann. 



§ 7. Beziehung zur PLANCKschen Einteilung des Phasen- 

 raums. Wir wollen die Bewegung eines Punktes der Masse 1 in 

 der Ebene der rechtwinkligen Koordinaten x l , x 2 betrachten unter 

 Wirkung des Potentials 1 j 2 (A\x\ + A\x\) , welches einer anisotropen 

 elastischen Kraft entspricht. Es gilt dann bekanntlich: 



x, = 7, sin(A,< + /3,) x 2 = y 2 sin ( A 2 1 -+- /3 2 ) ß, , ß a , y, , y a 



x, = y, = y, A, cos (A,t + ß,), x 2 = y 2 = y 2 A 2 cos (A 2 t + ß,). Konstante - 



Es sind daher: 



w x =■ Aj+ß , w 2 = A 3 t-t-ß 2 

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