28 Sil/iins;' dor plivsikall.scli-iii.-itlieinalisclioii Classo vom 9. .Taiiiini'. 



Sulistitutioiien ( i o) Nr. 1 8 orleiden, deren (^oefficienton von den 

 Wertlien der Grössen k,,k^,k^,k^ unabhängig sind, so wird nach 

 Nr. I 2 eine (Ueichung 



dir , , div , d^iP , d^iD , d'^w 



in welcher A^ , A^ , A^ , A^ , A^ nach getroifener Wahl des k wohl- 

 bestimmte rationale Functionen von x sind, durch jede der Grössen 

 n , h , c , d , f befriedigt. 



Hieraus und aus den Gleichungen (5) bis (8) und^ Gleichung (10) 



, ., , ^ TT- . 8a 8& 3r? 3r^ 3/ 



Nr. 23 ergiebt sich demnach, dass die Functionen ^r» 37 > tt.» äz.' ^ 



in der Umgebung von x = k^^ die Form P^ + Q^ log {x — k^) und in 



der Umgebung von a; = 00 die Form P^ + Q^ log haben, also in 



der Bezeichnungsweise meiner Arl)eit ' wie F beschaffene Ausdrücke sind. 

 Setzen wir die Differentialgleichung (1) Nr. 23 in die Form 



worin B„, B, , . . B^ ganze rationale Functionen von x und den 

 Grössen ä;„ sind, und differentüren diese Gleichung nach k, so folgt 



':" ^"3V>U) +*'&i3i) + *-5w(3ij +^'3-riM) +*<S:i3I 



dw 3Po 35^ d5, d^w dB, c)-'«; dB.^ d'^w dB^ dio dB^ _ 

 ^ dk dk dx^ dk dx* dk dx'^ dk dx'^ dk dx ck 



Ist 10 eine der Functionen a . h , c . d ,f, so ist nach den Gleichungen 



(5) bis (8) Nr. 23, w in der Umgebung von x = k^ eine wie F be- 



sciiaffene Function, welche zum Exponenten Null gehört. Ist - A der 



„ , , 3m5 , , . ,3'' fdic\ 



Exponent, zu welchem ^^^ gehört und ist A > o, so gehört -^ — I ^r-r | 



ck (ix" \okJ 



zum Exi)oneiiten — A — ;•, während „ zum Exixmenten — r gehört. 



ckv' 



Setzen wir also in Gleicimng (3) für 10 seinen in einer der Gleichungen 



•~\ 



(5) bis (8) enthaltenen Ausdruck und fiir -„- den obigen Ausdruck 



ak 



P^-\- Q^log (x — ÄJ, welcher unserer Annahme nacli zum Exponenten 



— A gehört, so ergiebt die Vergleichung der gleich hohen Potenzen 



von X — k^ entweder im Coeflicienten von log (x — k^) oder in den 



' BoRCH. Jovirn. B. GG. S. 155, 



