FiKHs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. '2.1 



vom Logarithmus freien Gliedern , dass X die Einheit nicht über- 

 schreiten darf, wenn k = k^, und dass A nicht positiv ist, 

 wenn k von k^ verschieden. 



Auf demselben Wege ergiebt sich unter Berücksiclitigung der 



Gleichungen (lo) Nr. 23, dass der Exponent, zu welchem -.^r hi der 



Umgebung von o; = 00 gehört, nicht grösser als die negative 

 Einheit ist. 



Die oben erwähnte Coefficientenvergleichinig zeigt übrigens auch 

 — wie nach der directen Differentiation der Gleichungen (5) bis (8) 

 Nr. 23 zu erwarten war — dass im Falle k = k,^ die Summen 

 da da dl) dl> 

 dx dk' dx 8ä'' 

 nicht zu einem negativen Exponenten gehören. 



Hieraus ergiebt sich, dass G {a,h,c,d) in der Umgebung 

 eines jeden der singulären Punkte k^,k„,k.^, k^ eine wie F 

 beschaffene Function ist, deren Exponent nicht unter die 

 negative Einheit sinkt, während der Exponent von (i (a . h, c. d) 

 in der Umgebung von a; = 00 höchstens den Werth — 5 liat. 



Nach Gleichung (26) Nr. 21 ist 



(4) G{a,h,c,d) = a. H(a,/j,c,d). 



Wir wollen zunächst bemerken, dass i/ausser für die Wertlie 

 X = k^ für keinen anderen endlichen Werth von x unendlich 

 werden kann. Ist nämlich x = ,8 ein von dem /:„ verschiedener 

 Werth, für welchen 27 unendlich würde, so müsste, weil G {a,h,c ,d) 

 für X = ß einen endlichen Werth erhält, a für x = ß verschwinden. 

 Machte einen beliebigen Umlauf, und gehen dabei a und G(n,/>,r,d) 

 bez. in a, G {a , /> , c . d) über, so ist — : weil nach Nr. 21 H eine 

 rationale Function von x — Jiach Gleichung (4) 



(5) G (ö, b, c, d) ^ a H{a, h, c, d) . 



Aus dieser Gleichung ergäbe sich , dass aucli « für x = ß> ver- 

 schwinden müsste. Ein Wertli x ^= (o aber, für welchen jeder Zweig 

 eines Integrals der ii-reductibelen Gleichung (1) Nr. 23 verschwindet, 

 müsste die Function •^/(x) annulliren, was der Voraussetzung widerspricht. 



Aus den obigen Entwickelungen und aus den Gleichungen (5) 

 bis (8) Nr. 23 folgt, dass 



(6) H(x — k,) {x - h) {x - k.,) [x - k^ = H, 



für keinen endlichen Werth von x unendlich werden kann. 



Aus denselben Entwickelungen und aus Gleichung (i o) Nr. 23 

 folgt aber, dass H für « = 00 wenigstens vierter Ordnung ver- 



