Fuchs: Ziii- Theorie der linearen Differentialgleichungen. ol 



durch die Coordiuaten {x, , xS) bestimmte Punkt um je einen der 

 Punkte k, , k^ , k^ , k^ einen Umlauf vollzieht. Grleichermaassen ist es 

 erlaubt, in derselben Tabelle a , h , c , d ,f durch a^, b^, c^, d^,f^ bez. 

 und a , h , c ,d ,f durch a, , h^ , c,, d^, f^ zu ersetzen , wenn die letzteren 

 Grössen das bezeichnen, was aus cu, h^, c^, d.,,f\ durch dieselben Um- 

 läufe von (a;, , x^) wird. 



Die Function fl/'-f Ir -\- cd verschwindet nach Gleichungen (7) und (8) 

 Nr. 1 8 identisch für jedes x, und verwandelt sich durch die Um- 

 läufe um die singulären Punkte k^ in sich selbst. 



Bilden wir daher analog die Ausdrücke 



(3) fi = «./. + *? + c,^i 



(4) <p2 = "2/2 + !>l + f-2(h, 



so ergeben die Verwandlungstabellen füii* «,,/>,,... und n,, I>^, . . . , 

 von welchen eben die Rede war, dass die realen Functionen 

 (p,,(p2 der realen Variablen a;, , a;, bei Umläufen des Punktes 

 (x, , Xj) um die Punkte k^ umgeändert bleiben. 



Ihrer Bedeutung nach bleiben a, ,/>,,... und a^ , b^,. . . folglich 

 auch (/), und (p^ ungeändert, wenn (x, , x^) irgend welche Umläufe um 

 andere Punkte vollzieht. 



Demnach sind <p^, <p^ eindeutige Functionen von Xi, x^. 



Aus der Gleichung 



(5) «/+ ^>' + cd — o (s. Gleichungen (7) und (8) Nr. 18) 

 folgt durch Trennung des realen und des imaginären Theiles 



,.. [('] + «=)/, =- -K {al>\ + K (nb) - r, [nd] + c,(ad) 



^ ^' (flj + al)f, = - b, (ab) - b, [ab] - r-, (ad) - r, [ad\ , 



wo 



(^) {(pq) =Pi92-P2q, 



\ [P9] =Piqi+ P2 92 



gesetzt ist. Substituiren wir die Werthe von /', und J\ aus den 

 Gleichungen (6) in (^,, 0, (Gleichungen (3) und (4)), so folgt 



(8) cp, (ff? + al) = <p, (a\ + ff^) = (al,f + (ad) (ac) . 



Hieraus ergiebt sich zunächst, wie auch unmittelbar aus Gleichung ( 5 ) 

 sich ergiebt 



(9) <^, = '/>.. 

 Setzen wir demnach 



(10) (p^_ = cp^ = (p, 

 so lautet die Gleichung (8) 



(11) (p (a] + al) = (ab)- + (ad) (ac) = R. 



