Fuchs: Zm- Theorie der linearen Diflerentialgleiclningen. 35 



und von einander verschieden. Nun haben wir in Nr. 37 be- 

 wiesen , dass (j) in der Nähe von .-c = 00 und von x =^ k^ negativ ist. 

 Da aber diese Function in einer nicht singulären Stelle ihr Vorzeichen 

 nur wecliseln könnte, wenn sie daselbst verschwände, so ergiebt sich: 

 I. So lange die Grössen k^ endlich und von einander 

 verschieden sind, ist (p stets negativ. 



Aus Gleichung (11) Nr. 26 ergiebt sich daher: 

 IL Unter derselben Voraussetzung haben die Grössen 

 [ac], (ad) entgegengesetzte Vorzeichen. 



III. In einer nicht singulären Stelle kann keine der 

 Grössen (ac), (ad) verschwinden, weil nach Gleichung (11) Nr. 26 

 daselbst cp einen positiven Werth annehmen müsste. 



Da nach Nr. 28 (ad) in der Nähe der singulären Stellen positiv 

 ist , so ergiebt sich aus Satz HI. : 



IV. Unter derselben Voraussetzung wie in I. und II. ist 

 ausserhalb der singulären Stellen (ad) stets jiositiv und (ac) 

 negativ. 



Wir wollen den Coefficienten von l einer Grösse z mit I(z) be- 

 zeichnen, dann ergiebt sich aus den Gleichungen (5) bis (8) und 

 Gleichungen (10) Nr. 23: 



Für X =^ k, 



<4) = ". '' 



(1) 



fiir X = k^, kj , k 



(2) 

 für a; ^ 00 



(3) 



[aj \a)' \a) \a) 



Hieraus folgt: 



V. In einem der Punkte k, . k^, k^, k^ und in .r = 00 ist 



entweder <p oder /( — 1 Null. 



Die Grössen a , b , c , d , f als Funktionen einer der Grössen ^„ auf- 

 gefasst, ei'leiden für die Umläufe dieser Variabein dieselben Substitu- 

 tionen, welche in Gleichungen ( i o) Nr. 18 angegeben sind. Es gelten 

 daher die Sätze I — IV, wenn wir x mit k,^ vertauschen. Diese Sätze 

 können wir alsdann folgendermassen zusammenfassen : 



VI. So lange die Grössen a;, Ar, , ^'2, ÄTj, Ä^ endlich und unter 

 einander verschieden sind, haben die Grössen /(»j) , /(— ^), 

 -f(^)' — -f(>l) -f(— ^) stets das negative Vorzeichen. 



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