FurHs: Zur Theorie der linearen Differentialgleiclningen. H7 



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Wir haben es in Nr. 2 o ausgesprochen , dass x , k^, k^ eindeutige 

 Functionen von ^,r\,^ sind, und bemerkt, dass wir den Beweis dieses 

 Satzes im Wesentlichen nach der Metliode liefern wollen, welche wir 

 für die elliptische Modulftmction ' angewendet liahen. Diese Methode 

 war im Wesentlichen die folgende. 



Sind >5, , v\2 die dort näher bezeichneten Fundamentalintegrale der 

 Differentialgleichung der Periodicitätsraoduln mit der unabhängigen 

 Variabein«, so beweisen wir zuerst, dass der reale Theil des Quo- 



tienten H = — ^ in der Nähe der singulären Punkte ?< = o, i , 00 positiv 



1, 

 ist. Bezeichnen wir ,den realen Theil von H mit 9t (H) , so kann es 

 kein Gebiet V geben , innerhalb dessen 9t (H) negativ ist. Denn es 

 niüsste an der Begrenzung von F , wo 9t (H) sein Vorzeichen wechselt, 

 9t (H) verschwinden. Wir zeigen aber daselbst, dass das Vorzeichen 

 von 9t (H) vom Wege der Variabein ii unabhängig sei. Wir können 

 nun den Umlauf von u so wählen, dass innerhalb F die Function H 

 also auch 9t (H) nicht unendlich wird. Weil aber innerhalb F keiner 

 der Punkte u = o, i , 00 sich befindet, so müsste 9t (H) innerhalb F 

 identisch verschwinden. Wir zeigen dann, dass für unendlich viele 

 Umläufe, welche H von v unabhängig machen, 9t (H) gegen Null con- 

 vergirt. Der Gesammtwerthvorratli , den H für alle möglichen Umläufe 

 von « erhält, befindet sich daher auf der positiven Seite der lateralen 

 H-Axe. In diese Axe fallen auch die Werthe von H, welche u := o, 

 u =^ I entsprechen. Für die Function v von H, wie sie durch die 

 Differentialgleichung zwischen it und H" definirt wird, sind aber u^ o, i 

 die einzigen wirklichen singulären Punkte. Demnacli ist u eine ein- 

 deutige Function des Werthvorrathes H. 



Genau ebenso verfahren wir in der Frage, die uns gegenwärtig be- 

 schäftigt. Aus den Gleichungen (2) Nr. 20, und aus den Sätzen am 

 Schlüsse der Nr. 2 i und am Schlüsse der Nr. 2 5 Gleichung (9) folgt, 

 dass die einzigen Singularitäten der Gi-össen x , /c, , k^ als Functionen 

 der unabhängig von einander sich ändernden Grössen ^ , *) , «^ , durch 

 das Zusammenfallen zweier der Grössen x , k^ , k.,, k^, k^ oder das Un- 

 endlichwerden einer oder mehrerer derselben erhalten werden. Nach 

 Nr. 29 Satz VI ist der Gesammtwerthvorratli V der Mannigl'altigkeit 

 ^ , v] , (^ , wenn die unabhängigen Variabein x , k, , A\ l »eliebige Wege 

 beschreiben, so beschaffen, dass 7(v]), I{ — ^), I(^Y — /(v))7( — <^) negativ 

 bleiben. Diejenigen Werthe, welche durch unzählig viele Umläufe 



' BoRCH. Jour. B. 83 S. 13. 

 ^ S. ]. c. p. 25. 



