106 Sitzung der physikalisch -math(>niatischen Classe vom 30. Januar. 



substituirt, die einfache Relation: 



((J) (_ , )"•■ El (|((r' + r'u/), i w') = i^ «"•+"—— ya ( j (^ + rw), ^ io\ 



oder also: 



(6') El' (i (er + T«r) , ^w) = YA" (~ («r' + r'w') , ^if > 



Die vierte Potenz der elliptischen Function El (^ (er + Tic) , '-iv) ist 

 demnach 



eine Invariante der vollständigen Aei|uivalenz: 



(er , T , «o , l>a , Ca) CO (<t', t', «o -, K > K) 



oder der Cla.sse von Systemen, welche durch alle mit 



{(T ,T , a^, b^, c^) vollständig aequivalenten Systeme gebildet 



wird. 



Dieses aus der Theorie der Transformation folgende Hauptresultat 



wird nun aber durch den Ausdruck von FA (^ (c- + rw), ^w), welchen 



die citirte Gleichung (8) des art. XIX liefert: 



m 





in vollkommen sachgemässer Weise dadurch in Evidenz gesetzt, 



dass jedes einzelne Glied der beiden Reihen im Zähler und 

 Nenner in ein entsprechendes anderes Glied übergeht, wenn 

 man für die Grö.ssen c,r , a^, l>o, c^ die eines aequivalenten 

 Systems ((t', t', «„, b^, c^) .substituirt. 

 Wird nämlich: 



a (m + t) + ^u = m'+ 1 , u' (m + ^) + /3'n = n' 

 am + ßn ^ ?n' ■ a.' m + ,S';j ^ n' 



gesetzt, so ist vermöge der Ae(juivalenzbedingungen CJ^J offenbar: 



«o (m + j)' + K (»" + t) n + '''o n' = "o ('"' + 7)' + K 0"' + v) n' + r„n'- , 

 (m + -^ (t' + nr' = ~ (m' + 7) (^ + et") + n'(T + p") , 



.(2m + l) (n — I) J2ni'+ 1) (n'— 1) ^-aa.' -\-a.— a'—\ 



l = « • Ü , 



a'at/f+ h'^tim + Co?«- =; aoin'- -\- b^m' n' + Cqu'' , 

 jikt' + ht' = »/((T + a") + «'{t 4- /3") , 

 (_,)"<(«-.) ^ (_,)"''("■— )^ 

 und also: 



