Kronecker: Zur TliPoi-ie der elliptischen Functionen. (Forts.) 107 



_(2m + 0(11-1) —nL^(m + ~f + h;^(m + ^)n + c^n\ + f(2m + i) a'+inx' j « 



a" l-ua'+a — a'—i (2m'+ 1) (n'— i) — tt I % (m' + ^)" + 6o(m'+ ~) n'+ c^n'" j + ( (2m'+ 1) tr + 2 n'Tl 

 ;( — i) / 'i e ^ ' ' ' ^ ' 



,_ j xm (n — i)^— 7r(«/m^ + b'^mn -\- c^rr) J^^{mc■'-\- nx') W 

 — / j\'«'(«'— i)ß— t(Oo'»'^ +60'"'"'+ '^o"'') + 2("''»" + «''^)"_ 



Es geht daher in der That, wenn man in den beiden Reihen im 

 Zähler und Nenner des Ausdrucks (T)) die Grössen: 



durch : 



ersetzt, jedes einzehie durch die Zalilensysteme : 



(m, tt) , (m, ?t) 



bestimmte GUed in ein anderes über, welches beziehungsweise durch 

 die Systeme: 



(m', n') , (m', «') 



bestimmt ist, jedoch so, dass dahei im Zähler der Factor ( — i )" i' 

 hinzutritt. Hierdurcli erhellt nun unmittelbar die Transformations- 

 gleichung ((£) und also die Invarianteneigenschaft der vierten Potenz 

 der elliptischen Function El (^ {er + rio) , \ w), 



§.2. 



Wird im Nenner des Ausdrucks ('D) der Factor r''"^"*""'"^ durch: 



cos 2 (in<T + n"^) TT 4- « sin 2 (?rtcr + nr) ir 



ersetzt, so fällt bei der Summation der je zwei den Werthen {>n , n) 

 imd ( — m , — n) entsprechenden Gliedern der mit i multiplicirte Theil 

 fort, und es bleibt also nur die Reihe: 



m = -\-(X3 n=:-|-CO , 2 I I ( 3\ 



(S) ^ 2 (— iT 'e ^o ^ ° ^ ° ■' cos2(rHö- + ?iT)7r, 



welche mit (£„ (ö" , r , ff^ , &„ , r^) bezeichnet werden möge. Wird ferner 

 im Zähler des Ausdrucks (T)) der Factor p'""' + "' + '"'*"' durch: 



cos ((2m + l) 17 + 2\\t) IT + / sin ((2m + 1) ö- + 2\\t) TV 



ersetzt, so erhält man durch Vereinigung von je zwei den Werthen 

 (2m + I , n) und (— 2m — I , — n) entsprechenden Gliedern füi- gerade 

 Zahlen tl: 



