Krünecker: Zur Theorie der elliptisclien Functionen. (Forts.) 10.3 



§•3- 

 Für (J" = Y , T = o wird : 



und also: 



El(j (ö-' + r'w') , y to') = El (^ ci + j et" +~ fow' + \ ß"ic', | ?«') . 



Da nun für ganze Zahlen ni, n die Relation bestellt: 



El (<? + 1 7>l + j 71W ,^w) = {~ 1)"' El (M to), 



so erhält man, wenn man berücksichtigt, das /8 eine gerade Zahl 

 ist, für die obigen Werthe von er', r' die Formel: 



El (|((r' + r'w) , Ui^') = {- 0^*"""^" El(|, Jm;'), 

 durch welche die Gleichung (6) des §. i in folgende übergeht: 



(6°) El(^, j«,') =(-i)^"'»^""'e1(J, j^). 



Die vierte Potenz von: 



El 





ist daher eine Invariante der Classe von Systemen {a^, h^, c^), welche 

 diesem vollständig aequivalent sind, d. h. also der Gesammtheit 

 der Systeme: 



(aaCi-+ l>o<>^ot,'+ c^oc'' , 2a^oi,lo + /)o(oi/3'+ cc'/3) -\-2c^ob'lo' , aß''-\- hßlo'-\- cß") , 



für welche a,, ß' ungerade Zahlen und cc' , (i gerade Zahlen sind, die 

 der Bedingung aß' — a'ß =: i genügen. Dass aber diese Invariante 

 für die bezügliche Classe auch charakteristisch ist, d. h. dass aus 

 der Existenz einer Gleichung-: 



(®) 





das Bestehen der Aequivalenz: 



(«o , l>o , Co) ~ (Oo , K > Co) , {4''o'^o - *o = 4'lo 'o-K= ') 



und zwar als einer vollständigen, gefolgert werden kann, geht schon 

 aus den allgemeineren Ausführungen im §. 15 des art. XI hervor.' Aber 

 ich will dies hier noclmials in der für den vorHegenden Zweck ge- 

 eigneten Weise ausführlich begründen. 



' Sitzungsberichte, Jahrgang i886, Stück XXXIX. Vergl. auch die Ahhandhmg 

 des Hrn. Fuchs »Sur quelques proprietes des integrales des equations differentielles, 

 auxquelles satisfont les modules de pcriodicite des integrales elliptiques des deux 

 premieres especes« im 83. Bande des Journals für die reine und angewandte Mathematik. 



