Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) Lll 



wird. Es sei demgemäss , wenn für {m,n) die Systeme (o,i) und 

 (1,0) genommen werden : 



(m ?r(&3(o , w)y = (ä +/3w)if(^3(o , »))', (^,(0 , w))' = («'+ /3'tü)if(&,{o , tt))', 



wo die positive Zahl t den gi-össten gemeinsame Theiler der vier 

 Zahlen 



dt, ßl, (i't, (o't 



bedeutet; ferner sei in analoger Weise, wenn für (m,n) die Systeme 

 (0,1) und (1,0) genommen werden: 



(f) n.^(:>3(o , \vi)y= [oi, + /3, w) /,(^3(o , w))\ (^3(0 , m))^-= {«; + /S.'w) ^,(^3(0 , w))". 



Aus diesen vier Gleichungen (^) , (^') ergeben sich durch Elimination 



S-,(o , w) 



der Grösse Xv> und des Quotienten ^, die zwei Gleichungen: 



3-3(0,») 



?p( I - «, (oi/3; + /3/3,)) = «, (ä^; + /3ct,) , 



und aus diesen folgt, da ic eine complexe Grösse ist: 



„ «, (o6/3,' + /3/8,) = I , fltfli.' + iSoi, = o 



^" «,(Ä'a; + /3'e4,) = I , «'/3,' + ^'/3, = o. 



Nach der ersten und dritten Gleichung kann 



weder a, mit /3, noch at,' mit /3', noch a, mit ä,', noch /3, mit /3,' 



einen gemeinsamen Theiler haben; aus der zweiten und vierten 



Gleichung folgen demnach die Relationen: 



Ä = — EOt,^ , /3 = £04,' (s = ± '). 



mittels deren die erste Gleichung in folgende übergeht: 

 £//,(ot,'/3, — a./Bj) = I. 



Beide positive Zahlen t und t^ müssen also gleich Eins sein. Es muss 

 aber auch £ = + i sein; denn gemäss den Gleichungen (Ä') ist: 



«, + /3,w 



und der reelle Theil von >r»' muss ebenso wie der von wi negativ sein. 

 Hiermit ist nachgewiesen, dass aus der Gleichung: 



mit Noth wendigkeit die Relationen: 



Ot, + ^,W) 



folgen, in welchen ot, , /3, , 06,' , /3,' ganze Zahlen sind. Dabei müssen 



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