Kronecker: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 117 



Wenn man endlich die jAcoBi'sclien Bezeichnungen anwendet, so ist: 



K'i 

 YX{\,\w) = ^/;c, TT (^3(0, «)))'= 2Ä', IV = -— , 



El (^ (ö- + T?r) , ^ ip) 



— — — - = sin am (2(7^+ it K 1, y.) . 



Das System der vier Invarianten der bezeichneten Classe von Systemen 

 {<r, T, f)^,h„, Ca) wird also einfach 



aus den je zwei Theilen der beiden complexen Grössen 



x% sin'am(2o-A^+ 2T^'«, x) 

 gebildet, 

 vorausgesetzt, dass dai'in x. , K , K' n\^s Functionen von a^, h^, c^ durch 

 die Gleichungen definirt werden: 



X = Epfl,i:^^'V 2Ä- .^^-fc^i^Y .K'= Mo>^ 



oder, was dasselbe ist, durch die Gleichungen: 



— ;:«(«. + 1)-- 



— Tzn 



•+60' ,'-*o 



y2K=]/Tv^e ''° , V2K'=yTr^e 



wenn die Summationen auf alle ganzen Zahlen h von — 00 bis + 00 



erstreckt werden. Dabei ist noch zu bemerken, dass zwischen den 

 beiden letzten Summen die Gleichung: 



i + b i I — b^i 



1 .1 ■«r-^ 2C„ .^-^ 2«„ 



besteht, welche aus der Theorie der Transformation der S-- Reihen folgt. 



§.6. 



Schon in meinen ersten Untersuchungen über die elliptischen 

 Functionen mit jenen besonderen Moduln, welche ich als singulare 

 bezeichnet habe, bin ich auf eine analytische Invariante derjenigen 

 arithmetischen Aequivalenz: 



