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118 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 30. Januar. 



geführt worden, welche durch das Bestehen der oben im §. i mit 

 (53o) bezeichneten Gleichungen begründet wird. Diese Invariante findet 

 sich in dem in den Monatsberichten abgedruckten Auszuge aus meiner 

 am 2 2. Januar 1863 gelesenen Abhandlung über die Auflösung der 

 PELL'schen Gleichung mittels elliptischer Functionen, und sie ist im 

 Sitzungsberichte vom 19. April 1883 im art. I dieser Reihe von Mit- 

 theilungen »zur Theorie der elliptischen Functionen« mit: 



— l>o+^ ffp + i \ 

 ■; ' 2r / 



-' o / 



bezeichnet. Vor dieser Invariante A haben die im vorigen Paragraphen 

 angegebenen Invarianten x^ und sirv Sixa {2(rK + 2TK'i , k) zuvörderst 

 das voraus, dass sie für die Classe vollständig aequivalenter Systeme 

 charakteristisch sind, während die Invariante A füir je sechs Classen, 

 deren Unterscheidung sich nach arithmetischen Gesichtsjiunkten als 

 nothwendig erweist,' einen und denselben Wei'tli T>ehält. Ausserdem 

 aber haben die Functionen xr und sin^ am (icrK + 2rKi, >c), deren reelle 

 und imaginäre Theile die vier erforderlichen Invarianten repraesentiren, 

 noch den Vorzug, dass sie diese vier Invarianten in elegantester Weise 

 zu zwei Functionen zweier complexer Variabein zusammenfassen. Aber 

 in der ihrer Invariaiiteneigenschaft und dadurch ihrer eigentüchen 

 Natur entsprechenden Darstellung dieser Functionen durch den Aus- 

 dmck (D) erscheinen die je zwei Theile der beiden comjjlexen Varia- 

 bein wieder getrennt. Dieser Umstand hat mich auf den Gedanken 

 gebracht, dass sich noch andere naturgemässe Entwickelungen der 

 elliptischen Functionen finden lassen möchten, wenn man eine Trennung 

 der beiden Theile der complexen Variabein zulässt, und es lag hierbei 

 oiTenbar am nächsten, die Entwickelung von sin am (2cr^4- 2tÄ"'/, x) 

 in eine zweifache nach sinus und cosinus der Vielfachen von ö" und r 

 fortschreitende Doppelreilie zu versuchen. Dies hat nun in der Tliat 

 zu überraschend einfachen und eleganten Formeln geführt, und es hat 

 sich dadurch gezeigt, dass man sich nicht, wie bisher, auf solche 

 Entwickelungen von Functionen einer complexen Variabein x + yi 

 beschränken darf, welche die Variabein x und y nur in ihrer for- 

 malen Verbindung zu x + yi enthalten. 



Die Entwickelung von sin am [-ktK -\-2rK'i,y) in eine FouEiER'sche 

 Dopi)elreihe ergiebt folgendes Resultat: 



— ==r: =^. 



vK t — inK 



(n = 0,il,i2,A3, . . .; v=+.i,+.3,A5, . . .) 



' Vergl. die Ausführungen im §. i meiner schon olien citirten akademischen 

 Abhandlung »Über bilineare Formen mit vier Variabein«. 



