Kroneckek: Zur Theorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 119 



Sondert man nämlicli die Summe auf der rechten Seite in die beiden 

 Theile, welche positiven luid negativen Werthen von v entsprechen, 

 so wird dieselbe gleich dem Aggregat: 



6" 

 iK '^, -VW — n ' 2A^ ,;"* —^vui 





(;?— O, AI, A 2, A 3.. . .: v/=I,3,5,7,. . .) 



Führt man nun die Sumniationen in Beziehung auf n mit Hülfe der 

 schon im art. I benutzten Formel aus: 



(0) T-^^ = -S^- f °<''<^' ), 



^ ' ^ 10 — n r'"" _ I V» = o, Ai,±2, ±3...; ' 



indem man hierin » = 2t + i und für ic das eine Mal ^ ""'> das 

 andere Mal — -^ vw setzt, so kommt: 



2Ä "^ <? — I 271. -^ e — 1 



oder also: 



27r .^ sin v{(7 + Tiv) w 



~T^T~ ZI~ (-'=.,3.5,---)- 



" e^ — e ^ 



Setzt man in diesem Ausdruck: 



e"-'~' = 9' , (ö" + Tw) TT = a; , 



so erhält man denjenigen, welcher in der Formel ( 1 9) im art. 39 von 

 Jacobi's «Fundamenta 110 va theoriae functionum ellipticarum « auf der 



rechten Seite steht, multiplicirt mit — -,; sein Werth ist demgemäss: 



X sin am 2Ä^(cr + tiü) 

 oder also in der That gleich: 



X sin am {2(tK-{- 2rK'i , x). 

 Die Formel (^) kann auch in folgender Weise dargestellt werden: 



„,, . , T' T-/ . V «^ (— i)" sin(vcr + 2«T)7r 



<P' xsinam(2^Ä + 2TÄ'*,x =V^ ' ^, ] \. ' . 



"^ vK -\- inKi 



(n = 0, +.1, + 2, ±3,...; v= A I, A3, + 5,...) 



Nimmt man in derselben ö" == ^ , t ^ o , so resultirt die folgende Reihen- 

 entwickelung des Moduls: 



^ vK + 2nKi 



und wenn (^ ^^ '^ gesetzt und dann zum Werthe t ^ ^ übergegangen 

 wird, so kommt: 



Sitziinjislioi-ii'lite 1890. 11 



