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Zur Theorie der elliptischen Functionen. 



Von L. Kronecker. 



(Fortsetzung der Mittlieilung- vom 30. Januar, VI.) 



§• 7- 



Die Gleichung (©) ist im A'origcii PavngTaplien dadurch erlangt worden, 

 dass in der mit StY{^ , yi , u , v , w) bezeichneten Reihe die Summation 

 m Beziehung auf tn ausgeführt worden ist. Das durch die Gleichung (©) 

 dargestellte Resultat besteht also eigentlich darin, dass der Grenzwerth : 



(©') lim lim "^ — ("'~ ' ~''^^'"'"^ ,.), 



^ .\=x, Ill = co -^^U + mV + tlW \n=o,±.l,j^2,...j^]\)' 



wenn man, wie es die Reihenfolge lim lim andeutet, zuerst 31 und 



iV=CX) M=M 



dann N in's Unendliche wachsen lässt, mit dem Grenzwerth: 



n (1,1' — Jui) 



27n-^^^_ -^ ^ /n = 0,i I, ±2,.... A JV; 



<?<o 



(ö ) e " hm >, -- 



I 



Übereinstimmt. In der Gleichung: 



(©) Ser (P , >i , ?/ , v , ic) = — e " lim "^ 



in \rfi — im) ■ 



iV=oo 'T' 2i,u+nw)- 



i — e 



(n = o, ii, i2,... +.K) 



hat daher Ser {P,-/\,u,v, ic) die durch : 



^2 (ini+ nr) n-i /,„ = 0,iI,i2,...Ji 3/A 



(©°) Ser(^, )i, w, r.?r) = lim lim "V ( h = o, +.1, +.2, ...±iv; j 



-V = coiK = oo^-^^ ?< -|- ?ftü -t- '«W y _,<g<o / 



ausgedrückte Bedeutung. 



Substituirt man hierin — »j für >i und — 10 für w und ersetzt 



dann den Summa tionsbuchstaben n auf der rechten Seite durch — n, 



so sieht man, dass die Relation besteht: 



Ser {^ , Yi , V , V , w) = Ser (^ , —*),«, ü , — m') ; 



man kann daher unbeschadet der Allgemeinheit voraussetzen, dass 



wi 

 in dem Quotienten — der reelle Theil negativ ist. Da ferner u um 



ein ganzes Vielfaches von w vermehrt oder vermindert werden kann, 



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