Kronecker: Zur Tlioorie der elliptischen Functionen. (Forts.) 12/ 



gungen, wenn aucli die Herleitung der Gleichung (U) an die.selbe 

 geknüpft war, doch nicht nothwendige sind, und dass die Gleichung 

 ihre Gültigkeit für Werthe von r und r' behält, die in irgend einem 

 von zwei benachljarten ganzen Zahlen eingeschlossenen Intervalle 

 hegen. Hierfür ist offenbar nur erforderlich nachzuweisen, dass die 

 Gleichung (U) bestehen bleibt, wenn r + i an Stelle von t gesetzt 

 wird, und auch, wenn t'+ i für r' suV)Stituirt wird. 



Wird nun zuvörderst r + i an die Stelle von r und demgemäss 

 u-\-io für u gesetzt, so tritt auf der linken Seite der Gleichung (U) der 

 Factor e~-'''" hinzu. Dies erhellt unmittelbar, wenn der Suuunations- 

 buchstabe ji durch n — i ersetzt wird. Auf der rechten Seite tritt, 

 wenn von der Relation: 



^(^ + w, w) ^ ^„_.,,„,&{^ 

 Gebrauch gemacht wird, der folgende Factor hinzu: 



Dessen Werth stimmt aber mit dem von r~-'''" überein, da ti'=rc-'+ur' 

 ist. Die Gleichung (U) bleibt also bestehen, wenn r+i an die Stelle 

 von T gesetzt wird. 



Wenn man nunmehr t'+ i für t' substituirt, so wird der Werth 

 der Reihe auf der linken Seite der Gleichung (It) offenbar nicht 



2T'uni 



alterirt. Auf der rechten Seite tritt bei dem Exponentialfactor e " 



der Factor e " hinzu; zugleich tritt aber bei dem Quotienten der 

 S-- Functionen, wenn wied.€r von der eben benutzten Relation: 



^{v\ -\-w ,io) 3-(>)., w) 



Gebrauch gemacht wird, der Factor e " hinzu. Die Gleichung (U) 

 bleibt also auch bestehen, wenn t'+i für r' substituirt wird, und 

 sie gilt demnach 



für beliebige reelle Grössen o", O"' und tiir alle reellen Werthe 

 voft r und r' mit alleinigem Ausschluss der ganZzaliligen. 



Die Gleichung (U) ist zwar nur unter der Voraussetzmig hergeleitet 

 worden, dass füi- die Reihe auf der linken Seite der Grenzwerth: 



(<B ) lim M-m ^ ; — ^ r , — ; , T" nr=o+i+2 ±i\'; 



^ ' A=o=M=ca^^{(T + ?n)v + {r + n)w \ n^o, j. i, a 2, . . . ± ^> / 



