Krunecker: Zur Theorie der ellijuisclien Functionen. (Forts.) 22.) 



Wenn man die Function von «„ , u , v , lo auf der linken Seite 

 der Gleichung (5") oder C^'"), mit Hülfe der Gleichungen (3E) und (®'), 

 im §. 8 durch 3- -Functionen ausdrückt, so gelangt man zu jener am 

 Schlüsse des §. 7 aufgestellten »Hauptgleichung« (U,). Das in derselben 

 enthaltene Resultat ist also hiermit nochmals begründet, und zwar 

 insofern auf entgegengesetztem Wege, als dort im §. 7 von der Reihe 

 auf der rechten Seite der Gleichung (5") oder (9 ") ausgegangen und 

 deren Summation mittels S-- Functionen bewirkt worden ist, während 

 hier in den §§.8 — 11 der aus 3--Functionen zusammengesetzte Au.s- 

 druck (33) zum Ausgangspunkt genommen und nach Darlegung seiner 

 Invarianteneigenschaft in jene zweifach unendliche Reihe entwickelt 

 worden ist, welche die rechte Seite der Gleichung (3") bildet, und 

 welche in der citirten Hauptgleichung (U,) mit Sev {u^ , u , v , iv) be- 

 zeichnet ist. Darauf, dass bei dieser letzteren Methode die Darlegung 

 der charakteristischen Eigenschaften des S- - Ausdrucks , auf welchen 

 die Summation der Reihe Sev (tio, u , c , 10) führt, der weiteren Unter- 

 suchung vorangeschickt worden ist, beruht ihre grössere Durchsichtigkeit. 



Die Gleichung (5") im vorigen Pai-agraphen ergiebt für die Function 

 Atr, {Vg, u, V , Hl) , gemäss deren Definition im §.9, die Reihenent- 

 wickelung : 



J, (t + n) <ro — (<^ + ■'«) To) 2Tri 



C^'^ ) Atr, (u„ ,u.v, w) = lim lim "V ^ -, ; — , 



(uin + ßn = o, jLI, +.2,. . . +.M; a'm + ß'n = o, il, i 2 , . . . A iV) 



und aus dieser erhellt unmittelbar, dass ihr Werth ungeändert bleibt, 



wenn man er oder r imi eine ganze Zahl vermehrt oder vermindert. 



Aus der am Schlüsse des §. 8 gegebenen Definition der Function 



Atr(iig, u , r , ic): 



- — , (CT —er t\ ni Atr'(o , V ,w) Atv(u„ + u, c , ic) 



Atr(y/„ , u , i- . ip) = f'^ " ° ' L_!__J — '. !_2_J L_^ — ' 



Atr(?^o 5 " j '") Atr(?/ , v , w) 



ergiebt sich ferner, dass der Werth der Function: 



(<r j — c-T ) Tti — (a T — CT ■) Tti 



,A " o; Atr{zig,ti,v,w) oder <■''• ^ Atrya-gD + Tg^c, (rv-\-TW, v, w) 



ungeändert bleibt, wenn man u mit u„, oder also zu gleicher Zeit 0" 

 mit 0-^ und r mit t^ vertauscht. Es ist demnach: 



>'^ ° °' Atr {iT„t)-\-TgW, (TD + no, D, w) =^ e^ ° °' Atr {<Tv + rw,(T„o-\-Tg'W,v, 10) 



