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und injui gelangt, dalier mittels der Gleichung (3") zu der merk- 

 würdigen Reihenrelation : 



(V) r^^"'''^"^"' \im lim V, ^- ; — 



.v= cx> M--: cc ^ (o- 4- ?n) v + (t + n) w 



= e^ ° " ^ lim lim V 



{am + ßn = 0. _L I. jL 2, . . . J. M; a' m + ß'n = O. A I, A 2 , . . . i. iV) 



immer vorausgesetzt, dass oi,,ß,a,',ß' ganze Zahlen sind, welche der 

 Bedingung aß' — ä'/3 = i genügen, und dass weder oc' Tg + ß'r^ noch 

 äV + /3't einen ganzzahligen Werth hat. 



XXI. 



Die im §. 7 des voiügen Abschnitts entwickelte Hauptgleichung (U,), 

 ebenso wie die damit übereinstimmende Gleichung (3 ) im §• i'r l^gt 

 dar, dass die Reihe: 



■^^{(T + m) V + {r + n) w 

 wenn man die Summation auf alle den Ungleichheitsbedingungen: 



\ci.m + lin\<M, \ci'm + ß'n\<N 



genügenden ganzen Zahlen erstreckt und alsdann M und N ins Un- 

 endliche wachsen lässt, stets einerlei Werth erhält, wie man auch 

 die ganzen Zahlen u, ß, a', ß', der Bedingung aß' — a'ß = i gemäss, 

 wählen mag. Dieses Resultat zeigt sich an den bezeichneten Stellen 

 als eine Folge der Invarianteneigenschaften des durch 3- -Functionen 

 ausgedrückten Werthes der Reihe, Eigenschaften, die nur mit Hülfe 

 der linearen Transformation der S--FTmctionen erschlossen werden 

 können. Desshalb ist es aber von besonderem Interesse, das erwähnte 

 Resultat direct aus der Natur der Reihe herzuleiten, zumal alsdann 

 umgekehrt ein Theil der Theorie der linearen Transformation der 

 ^- Functionen daraus hervorgeht. Es ist nämlich in der Reihe: 



("'^o-""o)2"' 



' u + mr + mc 



überhaupt ein neues Fundament für die Theorie der elliptischen und 

 3-- Functionen gewonnen, auf welchem sich wenigstens gewisse Theile 



