Krünkcker: Zur Theorie der ellipliseheu Fnncti(jnen. (P\irts.) 2ol 



dieser Theorie in höchst einfacher Weise aufbauen. Auch der Fort- 

 schritt von den Kreisfunctionen zu den Quotienten von ^-Functionen 

 wird dabei durch den Übergang von der einfachen Reihe: 



u + inv 



zu jener Doppeh-eihe deuthch illustrirt; denn die genaue Analogie 

 der beiden Formeln : 



M=cc ^^^^j u -[- m sm ?/7r V ^ ^z 



((" + y)%— (" + "') T„)2rr»: 



hm hm > = — ,r '- ~ '- — 



.v= oc A?= oo ^ u-[-m + {n + I) IC ^o («'o = "') ^o {" , "') 



(m = 0, AI, jt2, . . . Ji Jf ; n = o, ü. jt 2, . . . _t A') 



zeigt, dass man den schon in meiner Notiz vom 22. December 1881 

 eingeführten S'- Quotienten', welcher auf der rechten Seite der letz- 

 teren Formel steht, als die, dem reciproken Sinus oder der Cosecante 

 entsprechende, nächst höhere Function betrachten kann. 



Ich bemerke noch, dass die letztere Formel aus der Gleichung (U,) 

 im §. 7 hervorgeht, wenn man darin für: 



T„ , w,„ , n , p 



beziehungsweise : t^ + ^ , u„-\- '-w , ?< + -?*', 1 

 setzt. 



§• 1- 

 Den Ausgangspunkt der folgenden Entwickelungen bildet die 

 endliche Reihe: 



% (m, n = 0, i I, J_ 2, . . . +. M). 



^ (m + mv + mü)' "^ * 



Hierbei l)edeutet M eine positive und p eine nicht negative ganze Zahl; 

 (To und T„ sind beliebige reelle und u, r, w beliebige complexe Grössen, 

 die nur insoweit beschränkt sind, 



dass weder (7„ noch r,, eine ganze Zahl sein darf, dass ferner 

 das Verhältniss v : iv nicht reell, und dass u + mv + tiio für 

 kein Werthsystem {ni , n) gleich Null sein darf. 

 Der eigentliche Zweck der Untersuchung besteht darin, das Ver- 

 halten der Reihe zu ermitteln, wenn die Summation über alle Zahlen 

 7n , n von — 00 bis + 00 , und zwar in gewissen verschiedenen Reihen- 

 folgen, .erstreckt wird. Es würde demgemäss, da die Reihe für p>i 



' Monatsbericht vom December 1881, S. 1168 (I'). 



