Kroxeckkr: Zur Theorie der ellipfisclieii Fnnofionen. (Forts.) 2o9 



und deren CTvenzwertli dann für M^= oo zn nehmen ist. Indem man 

 nun jede der vier Reihen, wie oben, durch den Integralausdruck: 



(31) .4 r2,-(- + "« + 0-("..+-.v).--,,/. (..: = 2s„.,.„.. y=-^s,.„.) 



ersetzt, überzeugt man sich leicht davon, dass ihr Werth sich mit 

 wachsendem M der Null nähert. 



Bei Ausführung der .Summation in Beziehung auf in geht nämlich 

 der Ausdruck unter dem Integralzeichen in folgenden über: 



in welchem die Summation, je nach den beiden oben durcii e, =; -f i 

 und £, =: — [ unterschiedenen Fällen, auf n =^ o , i, 2 , . . . M oder 

 n = \, -1 , . . . M zu erstrecken ist. Es kommt also : 



— (M+ I ) (ai + xi) - <!> (^) _ - {M+ 1 ) (( I + ^^g) {az + xi) + bz + yi) 



wo (\>(z), je nach den beiden Summationsbestimmungen für u, gleich 

 Null oder gleich : 



t^y{az+xi) + bz-{-yi 

 zu nehmen ist. 



Da e^gx + y = is^{yT^ — crj tt ist, so bleibt gemäss den im §. 2 

 enthaltenen Darlegungen der absolute Werth des Nenners stets über 

 einer angebbaren Grösse f^, wenn, wie es durch die Definition der 

 Reihe ^ev^(>(^,v ,i\w + gi:) auf der rechten Seite der Gleichung (@^) 

 erfordert wird , die Diiferenz (r„ — gr^ keinen ganzzahligen Werth hat. 



Der Zähler hat die Form: 



e ^{z) -\- e ^{2)^ 



wobei o„ und h^, wie oben, die positiven reellen Theile von a und h 

 bedeuten, während ^{z) und ^(^) Functionen von z sind, deren abso- 

 lute Werthe unter einer angebbaren Grösse H-ix bleiben. 



Hiernach kann das Intervall . in welchem sowohl der reelle als 

 auch der mit / multijilicirte Theil des obigen Integralausdrucks (2l) 

 liegt, durch den positiven und negativen Werth von: 

 AG'-T{i + p) f I _ 



begrenzt werden; der Werth jeder von den vier durch den Integral- 

 ausdruck (21) dargestellten Reihen nähert sich also in der That mit 

 wachsendem M der Null. 



