Kronecuer : Zur Theorie der elliptisclien Functionen. (Forts.) oO.) 



Ser^(«o , V , P , 'w) ~ e '''''" Ser^(?/.o , u + ?'-' - » , «') , 



und au.s diesen beiden geht die allgemeinere, für beliebige ganze 

 Zahlen s.t gültige Relation hervor: 



((£,,) SeY^{i(a , y , V . w) = e ^'^° '^ Ser^(i/o , ?< + sv + ftr , v , w) . 



Endlich sind noch die beiden durch die Definition evidenten Rela- 

 tionen anzuführen : 



- SevApo-^ + ivT„ , u. , P , iv) = Ser^ (va-g — im^ , ii , - p , iv) , 

 ■* Ser^ («(Tq 4- "'To , '« , p , tp) = Ser^ (— p(7„ + toT„ , u , p , — w) . 



Setzt man nunmehr wie im §. 9 des art. XX: 



ö"' =: acT + /3t + 7 , •'■' = ö^'ö" + iS't + 7', 



P' = ß'p — U'lP , W' — — ßü + MD , 



u' = (r'i''4- t'w' = u + 7»'+ 7'«'', 



wo a, et', /ö , /3'. 7, 7', 7(,. 7„ irgend welche ganze, nur der Be- 

 dingung a/S' — x'fo ^ \ unterworfene, Zahlen bedeuten, so kann man 

 die allgemeine Relation aufstellen : 



((E) Ser^ («.„ , M , r , w) = /^"^ '~ " '''' "° "^ ^^'^ '~ ^ '^^'"^ ""' Ser^ (?// , u '. v' , w ' ) , 



welche unmittelbar aus den Relationen ((£,), ((£,), (S.,) oder (£'), ((5"), ((S^) 

 folgt und aber auch diese sämmtlicli in sich begreift. 



Nimmt man 7 = 7'= o, so geht die Relation (6) in folgende über: 

 (So) Ser^ {Uo , u , V , w) = Ser^ {u^ ,u',p',ic'), 



durch welche ausgesagt wird, dass Sex ^{Uo , 11, , v , w) oder 



Ser (cTq p + r^w , trw + rw , p , w) 

 eine Invariante der Aequivalenz: 

 (c-p, Tq, er, t. p,'H;)(x,'(i6(T^j-f/3To4-7o,fl6Vo+/3'To + 7o,Äö-+/3T. ä'o-+/3't, /3'p — at'«', —!ip-\-aui) 



ist, sobald nur für die gnnzen Zahlen ac, /S, 7o, a', /3', 7^ die Bedingung 

 a,!o' — d' lo =^ \ erfüllt ist. Aber es ist noch hinzuzufügen, dass hier- 

 bei, wie es die Gleichung ((EJ erfordert, nur solche Systeme: 



(o-Q , T(, , tr, T, p , w) , ((To , To , er', t', ü', tc') 



genommen werden dürfen, für welche die Functionen Ser^ im §. 3 (D) 

 definirt sind, dass also alle diejenigen Systeme ausgeschlossen werden 

 müssen, bei welchen auch nur eine der Grössen (T^jr^ oder (7o,To 

 einen ganzzahligen Werth hat. 



