Kronecker: Zur Tlieurie der elliptischen Functionen. (Forts.) 311 



WO oc, a! , ß, /o' ganze Zahlen bedeuten, für welche aß'—cc'ß =■ i ist, 

 so behält, gemäss der Gleichung (€') im §. 6 die Function Ser^ («/„ , ?f , ü , mi) 

 auf der linken Seite ihren Wcrth bei, und der Ausdruck unter dem 

 Summenzeichen auf der rechten Seite bleibt formal ungeändert, 

 während die Summation nunmehr in der ersteren von den beiden 

 Gleichungen (^o) auf alle diejenigen Systeme ganzer Zahlen (»« , n) zu 

 erstrecken ist, für welche die beiden Ungleichheitsbedingungen: 



-M-h<um + ßn< M+ k\ - M— k < a,'m + /3'm < iff + Ä-' 

 erfüllt sind, in der zweiten Gleichung (J^J aber auf alle diejenigen 

 Systeme {m, n), tür welche: 



— M— h<oim + lin<M+h', —N — k< a'm + ß'n<N+k' 

 ist. Mann kann dieses Resultat also durcli die beiden allgemeineren 

 Gleichungen darstellen : 



Ser (?/„ . 71 , V , «0 = lim V ; TTor -M-k<cL'm + ß'«< 31+ k'. | . 



^ M=o.^^{uJrmv+nwy-^^ \ 7ß'-a'ß=r / 



f^'"'°~""°^'"" f-M-h<am + ßn<M+^\\ 



Ser (?/„,", f • M') = lim lim ^, ^ —r- { —N—k<a'm+ß'n<N+!c',\ 



^ ' !u=^. y=co^^^{u + mv + nwy+i \ rß'-^'ß = r / 



welche die Gleichungen (J^) als speciellere (für a = /8'= i, a'= /3 = o) 

 mit umfassen und eine Haupteigenschaft der Function Ser ^{Ug,u,v,tc) 

 ausdrücken. 



Da Ser («o, ti , v , ic), gemäss der im §. 3 (£)) gegebenen Definition, 

 den Grenzwerth : 



nn\ 277 



lim T— TTTT (m,n = -M,—M+ +M) 



i»=oo j^^(«< + rnv + nip)'^^ 

 bedeutet, so kann das in den Gleichungen (JTj) enthaltene Resultat in 

 folgender Weise formulirt werden: 



1. Für alle verschiedenen ganzzahligen Systeme (a , oi', /B , /3'), 

 für welche weder ci,(Tg-\- ßr^ noch a' (t„ + ß' r^ einen ganz- 

 zahligen Werth hat, nähert sich die Summe: 



''o)^"' /'—M—h<am + ßn<M + h', 



- M—k<a'm + ß'n <ilf 4- k'. 



tt ('" + ^'^^ + '>i^y^ \ aß'— a- ß 



mit wachsendem M einem und demselben Werth. 

 11. Für alle bezeichneten Systeme (a, ot', /3 , /3') nähert sich die 

 Summe : 



J^n<r^-mT^)2ni 



— M—h<am + ßn^M+h',\ 



— N—k<a'm + ß'n<N+k',\ , 

 «ß'-a'ß = i / 



wenn man zuerst N und alsdann M ins Unendliche wachsen 

 lässt, einem und demselben Werth. 



