Kronecker: Zur Tlieorie der elliptischen Functionen. (Forts.) öl 5 



Lässt man in der Gleichung (@) die Integrationsgrenzen an ein- 

 ander rücken, so i-esultirt die Gleichung: 

 8 Ser, {Uo,u, V ,w) 



ÜU ^ 



die Function &eY^[u„,ii , c ,w) hat also, als Function der complexen 

 Variabein ?< betrachtet, Differentialquotienten aller Ordnungen, und 

 diese haben endliche Werthe, sobald nur nicht beide durch die 

 Gleichung u^(tv-\-tw definirten reellen Grössen (r,T ganzzahlige 

 Werthe haben. 



Es ist hiernach Sci\{u^, u, v , w), für p ^ o und für jede positive 

 ganze Zahl p, eine Fvuiction von u mit folgenden Eigenschaften: 



sie selbst und ihre Differentialquotienten sind für alle Werthe 

 von w, mit alleiniger Ausnahme derjenigen, für welche die 

 Gleichung u + mv + ntc = o in ganzen Zahlen in , n erfüllbar 

 ist, eindeutig und endlich, und der Grenzwerth, welchem 

 sich das Product: 



(u + 7nv + ««■)'"'' ' Ser„ (u^ , u , v , w) 

 nähert, wenn man u -\- //tv + mc gleich Null werden lässt, ist 

 gleich r ' . 



Weiss man nun von einer Function F(ii), dass ihr eben dieselben 

 Eigenschaften zukommen, und zwar in der Weise, dass die Differenz 

 F{u) ~ Sev^(v^, ii, V , w) für alle Werthe der Variabein i< -unter einer 

 bestimmten Grösse bleibt, so erschliesst man unmittelbar aus dem 

 CAucHY'schen Theorem, dass F{ii) mit Ser^iu^, u , v , iv) identisch ist. 

 Um hiervon eine Anwendung zvi machen, nehme ich zuvörderst 

 für F(tt): 



Ser^(M(,, U, v', w') (v' — ß'v — a'w. w' — — ßc + aw) . 



oder also: 



(nV — in'r\2T!i 

 M^o. -f^^. (« + mc + «'«■)'+ ^ l "'.n--0, +1. +2,... +3/ }■ 



Da mittels der Relation (ß^) im §. 7 sowohl Ser^{?/(,, «<,*', «") als auch 

 Ser («o, M , ü', w') auf solche Functionen Ser reducirt werden können, 

 in welchen das Argvunent 11, wenn es auf die Form (tc -\- rw gebracht 

 ist, nur Grössen (T , T enthält, die absolut kleiner als ^ sind, und da 

 für solche Werthe von u der absolute Werth jeder der beiden Reihen: 



Ser^(?<o , u , V , w) , Ser^(Mo , u , v',ic'); 

 nach Abtrennung des in beiden vorkommenden Gliedes —rj-, unter 

 einer nach §. i und §. 2 zu bestimmenden Grenze bleibt, so ist dies 



