469 



Über algebraisch integrirbare lineare 

 Differentialgleichungen. 



Von L. Fuchs. 



Es 



seien die Integrale der irreductihlen Dift'ereatialgleicliung 



d'^V d-y dy 



mit rationalen Coefficienten überall bestimmt', mid es werde voransge- 

 setzt, dass die Wurzeln der sämmtlichen determinirenden Fmidamental- 

 gleicliungen rationale Zahlen sind, und dass zwischen den Elementen 

 eines Fundamentalsystems von Integralen j/, , ?/, , y, der Gleichung (A) 

 eine homogene Relation nten Grades mit constanten Coefficienten 



(B) /(*/, ,y,.y,)^o 



bestehe, deren linke Seite sich nicht in Formen niedrigeren Grades 

 zerlegen lässt. — In früheren Arbeiten" habe ich für «> 2 aus diesen 

 Voraussetzungen die Folgerung gezogen , dass die Gleichung (A) alge- 

 braisch integrirbar sei, indem ich den Nachweis führte, dass z als 



Function von v\ ^ -^ nur eine endliche Anzahl von Werthen 



annehme' und dass zwischen z und vi eine algebraische Dif- 

 ferentialgleichung erster Ordnung besteht, in welcher die 

 Variablen separirt sind\ 



Diese Differentialgleichung wird folgendermaassen gebildet. Es 

 sei H[f) die HESsische Covariante der Form /, so ist' 



H{f)^X{z), 



wo X{z) Wurzel einer rationalen Function von z. Sei 



' S. Borchardt's Journal B. 66 .S. 146 (ileiclinng 12. 



^ Sitzungsberichte vom 8. Jiuii 1882 8. 703 fi'. und Acta mathciiiafira t. 1 p. 321. 



^ Acta niatli. a. a. 0. S. 328. 



* Acta math. 8. 329. 



^ Acta math. S. 323. 



44. 



