Fuchs: über algebraiscli integrirhare lineare Ditt'ei'entialgleichungen. 4/1 



wo ji, = ^ — , y ' ■= —j gesetzt ist. Ausserdem ist 



(2) Al/. + f 2-1/2 +f 3h = o- 



Eliminiren wir aus (i)und(2) successive /^ und /j, so ergiebt sich 



(3) /.«'2— y>, = 



(4) /,«'■ — ./>t'3 = o. 



Aus den Gleicliungen (B) , (3), (4) ergiebt sich durch Elimination von 

 y, , ^2 , j/3 eine homogene Relation zAvischen to, ,w^,w^ mit constanten 

 Coefficienten. 



Ist « > 2 , so ist auch der Grad der zwischen ri\ , u\ , lo statt- 

 findenden Relation grösser als 2. 



II. Es sei die Differentialgleichung 



(5) f"^+py"-'> + ...+p,„y = o 



irreductibel, und die Integrale derselben überall bestimmt'. 

 Es seien überdiess die Zweige eines Integrals 1/ derselben, 

 bis auf constante Factoren, von endlicher Anzahl, so besitzt 

 dieselbe ein Fundamentalsystem von Integralen, deren loga- 

 rithmische Ableitungen algebraische Functionen sind. 



In der That, wenn die Zweige eines Integrals y der Gleichung (5) 

 bis auf constante Factoren mit den Werthen y ,y^-,y^, ■ • ■ y,.^, über- 

 einstimmen, so sind die Zweige der Function n = — -'^ genau mit den 



rHogy dXosy, rflogw, r/logw. i 



Werthen?/— ' -^ - - ^■^' "■ - "'^^ - — ^•^'~' 



dz dz ' ' dz ''~ dz 



übereinstimmend. Die symmetrischen Functionen von v , w, ,?/,,... «,._, 

 sind daher eindeutige Functionen von c. Da die Integrale von (5) 

 überall bestimmt sind, so haben diese eindeutigen Functionen keine 

 wesentlich singulare Stelle, sie sind also rationale Functionen von z. 

 Demnach ist u eine algebraische Function von z. Die Gleichung (5) 

 besitzt die Integrale 



y>. = « ' 



X^O. i.2....r — I. 



Von diesen müssen m linear unabhängig sein, da sonst Gleichung (5) 

 mit einer linearen Differentialgleichung niedriger als mter Ordnung und 

 mit rationalen Coefficienten Integrale gemeinschaftlich hätte, gegen 

 die Voraussetzung. Die Gleichung (5) besitzt daher ein Fundamental- 

 system von Integralen, deren logarithmische Ableitungen algebraiscli sind. 



' Bükihardt's .lourn.-il B. 66 S. 146 Cileicliuiig ( 1 2). 



