FicH.s: l'btT ;ilgebrniscli intejirirliare lineare nitlerentialgleiclmnüen. 4 < t1 



Da 7 ^ I auszuschliessen ist, so müsste 7 = — i sein, demnach 

 Gleichung ( 1 4) in 



(14a) Mj = ~u, 



3 dz 



übei'gehen. Da u, , u^ beliebige Zweige der Function u^ sind, so 

 ergäbe sieh ebenso für den Zweig 11.^ der Function u, 



(14b) ^3="-". + t J^ ' 



WO \^, Wurzel einer rationalen Function bedeutet. Aber da u^ auch 

 ein Zweig der Function u., ist, so müsste aus demselben Grunde 



(14c) M3 = -M,+ t ^^'^- , 



WO \^^ Wurzel einer rationalen Function, sein. Aus den Gleichungen 

 (14a) bis (14c) ergäbe sich aber, dass der Zweig u^, also aus dem- 

 selben Grunde alle Zweige der Function ?/, , die logarith mischen Ab- 

 leitungen von Wurzeln rationaler Functionen sind, und demnach die 

 Integrale von (A) Wurzeln rationaler Functionen wären, was aus- 

 geschlossen ist. 



Wenn es nur zwei Zweige der Function w, gäbe, so müsste 



(16) ^ = a„+a,l/Ä 



sein, wo «^ , r;, , R rationale Functionen von z. Hieraus würde sich 

 ergeben 



(17) ^ = fto+*,(/Ä, 



wo />o, A, rationale' Functionen. Aus (16) und (17) würde folgen, 

 dass y, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit 

 rationalen Coefficienten genügte, was der vorausgesetzten Irreducti- 

 bilität der Gleichung (A) widerspricht. 



Demnach kann Gleichung (6) für einen von Null verschiedenen 

 Wertli von M nicht bestehen. Ebenso aber würden wir nachweisen, 

 dass die Gleichung (6 a) für einen von Null verschiedenen Werth von 

 ilf, auf einen Widerspinich führt. Da aber, wie oben gezeigt, Jf und 

 ilf, nicht gleichzeitig verschwinden dürfen, so ei'giebt sich, dass die 

 Annahme, dass die Gleichung (2) identisch für von einander unab- 

 hängige Werthe der Variablen c,>) bestehe, mit den über die Glei- 

 chungen (A) und (B) gemachten Voraussetzungen unverträglich ist. 



