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Die (ilek'liuiig' (2) setzt vielmelir die. Variable yi in Al)hängigkeit von 

 der Variablen c, und da diese Abhängigkeit eine algebraisclie ist, so 

 folgt, unter Berüeksielitigung der Gleicluing (ß) der Satz: 



Wenn die Gleichung (A) die Relation {B) zulässt, und 

 wenn ausserdem bekannt ist, dass die Zweige eines Inte- 

 grals derselben, bis auf constante Factoren, von endliclier 

 Anzalil sind, so ist die Gleichung (A) algebraisch integrirbar. 



3. 



Es sei 



( 1 ) »/'"" + p.y"""" + • . • + p„y = o 



eine l^eliebige lineare, homogene Differentialgleichung, und es seien 

 a, , ß, , . . . fl„, gegebene constante Werthe. Ist <S eine Substitution der 

 zur Gleichung (1) gehörigen Gruppe, oi,^. deren Elemente, so wollen 

 wir von den Ausdrücken 



(2) O* == <»*,«, + Ä^,«. + . . . + Ci^;„(l,„ 



k^ 1.2,.../« 



sagen , sie seien durch Transformation aus o, , a^, . . . a,„ vermittelst 

 der Substitution -S' entstanden. Nehmen wir an, dass die durch die 

 Gesammtheit der Substitutionen der Gruppe entstandenen transformirten 

 Werthsysteme, bis auf einen allen Elementen je eines Systems gemein- 

 schaftlichen Factor, von endlicher Anzahl sind, nämlich übereinstimmend 

 mit einem der Werthsysteme 



(3) {l,a['\l,o^:\...l,at>) 



X = o, I , . . . r — I , a^ =^ a^. 



Betrachten wir die Function 



(4) W ^=^ a^'W^ + CUU\ + • • • + 0,„'«'„, , 



WO ii\ .u\, . . . 11-!,,^ ein Fundamentalsystem von Integralen der zu (i) 

 adjungirten Differentialgleichung ist. 



Vollzieht z einen Umlauf, welcher der Substitution .S entspricht, 

 so verwandelt sich V^ in 



(5) ^' = j 2>. «>^ ^^""'' + ^"■"'^ + • • ■ + ^u..w„) 



wo A,,, die Unterdeterminante erster Ordnung der Determinante | ot^., | 

 bedeutet, welche zu u^i gehört. Es ist übrigens 



(6) Det I a,, \ - >- 



