fucMs: Über algebraisch integrirbare lineare Difterpiitialgleiclinngen. AI l 



Unter den Systemen (3) giebt es der Voraussetzung nach ein 

 solches (4«*'', l,a^o\ ■ ■ . lifC^) für welches 



(7) i", = /J'^.,«'" + <^.2"^'^ + . . . + a,„, «;,';'] 



p = ' • 2 ' • • ■ "' 



nämlich dasjenige System, welches aus («, , o, , . . . o,,,) durch die in- 

 verse Substitution von <S' hervorgegangen ist. — Substituiren wir (7) 

 in (5), so folgt 



(8) W = )u[o;"'ir, + ö.^'w, + . . . + ö;;'w,„J 

 wo |U von c unabhängig. Setzen wir allgemein 



(4a) w; = «',"u', + «!,'■'■«', + • • . + «™ «',„ ; 



X = O , I , . . . '/■ — I 



so ergiebt sich aus (8), dass die Zweige der Function W, bis auf 

 constante Factoren, mit W„, W^ , . . . W,_, übereinstimmen. Wir er- 

 halten also den Satz 



I. Ist a, , a.^, . . . u,„ ein System gegebener von z unab- 

 hängiger Grössen, und sind diejenigen Systeme, welche 

 aus dem gegebenen durch Transformation vermittelst der 

 Gesammtheit der zu einer homogenen Differentialgleichung 

 mter Ordnung gehörigen Gruppe, bis auf einen allen Ele- 

 menten je eines Systems gemeinschaftlichen Factor, von end- 

 licher Anzahl, so besitzt die zu der gegebenen adjungirte 

 Differentialgleichung ein Integral, dessen Zweige, bis auf 

 constante Factoren, von endlicher Anzahl sind. 



Wenden wir dieses Theorem auf die Gleichung (A) an unter der 

 Voraussetzung, dass sie die Relation (B) zulasse, und dass es eine von 

 (0,0,0) verschiedene Stelle der RiEMANN'schen Fläche (B) gebe, welche 

 durch die Gesammtheit der Substitutionen der zu (A) gehörigen Gruppe 

 in eine nur endliche Anzahl von Stellen derselben Fläche trans- 

 formirt wird, so ergiebt der Satz I, dass die zur Gleichung (A) ad- 

 jungirte Diflerentialgieichung ein Integral besitzt, dessen Zweige, bis 

 auf constante Factoren, von endlicher Anzahl sind. Da nach Satz I, 

 Nr. I zwischen w,,w^,'W^ eine homogene Relation stattfindet, so folgt 

 aus dem Satze in Nr. 2, dass die adjungirte Differentialgleichung, folg- 

 lich auch Gleichung (A) algebraisch integrirbar ist. Wir eidialten 

 also das Resultat: 



IL Wenn die Gleichung (A) die Relation (B) zulässt, und 

 es ist eine von (0,0,0) verschiedene Stelle der RiEMANN'schen 

 Fläche (B) vorhanden von der Beschaffenheit, dass sie durch 

 die Gesammtheit der Substitutionen der zur Gleichung (A) 



