4/iS Sitziiiin 'l''i' pliysikülisch - iii.ilhi'miitischcii f'liisse vom 2'2. M;ii. 



.ii;o]iüri.n(Mi Ciruppe nur in eine ciulliclic Anzalil von Stpllcu 

 (lersC'lbeii Fläclie übergpfiilirt wird, so ist (Jleicliuii.if (A) 

 a 1 g e 1 ) r a i s c 1 1 i n t e g r i r 1 > a r . 



Es sei (i cm endlicluT oder ein uneiidlicli grosser Wertli von 

 in dessen Umgebung das Integral 



J = I ^dz 



= J 



eine eindeutige Umkehrung nicht zulässt, und es sei >) = a, ^ = ^ 

 eine Stelle der RiEMANN"schen Fläche (B), welche auf einem gewissen 

 Wege der Variablen z für z ■== a erreiclit wird. Wenn durch alle 

 möglichen Umläufe der Variablen z der Stelle (ot, ^) unzählig viele 

 von einander verschiedene Stellen {ül , /3'), (a'-', ;8*^') . . . dersell)en P'läche 

 zugeordnet würden, so gäbe es unter diesen auch unzählig viele, 

 für welche K{y\) weder unendlich noch Null würde, da K(y\) eine 

 algebraische Function. In diesen Stellen würde sich aber j als Func- 

 tion von Y\ verzweigen. Wir dürfen nun voraussetzen,' dass z eine 

 einwerthige Function von {y\, ^) ist, eine solche Function kann sich 

 aber nur in den VerzweigTingspunkten der Fläche (B), also nur in 

 einer endlichen Anzahl von Stellen dieser Fläche verzweigen. Giel)t 

 es also Werthe z := n, in deren Umgebung J nicht eindeutig um- 

 kehrbar wäre, so könnte der Stelle {u, ß) durch die Ge.sammtheit der 

 Substitutionen der zur Gleichung (A) gehörigen Gruppe nur eine end- 

 liche Anzahl von Stellen zugeordnet werden , und es wäre nach Satz II 

 Nr. 3 die Gleichung (A) algebraisch integrirbar. 



Giebt es solclie Werthe a nicht, alsdann ist" s eine eindeutige 

 Function von J, welche entweder rational oder einfach , oder endlich 

 doppelt periodisch ist. Da ^ für ein gegebenes vi nur eine endliche 

 Anzahl von Werthen annimmt, so müsste in dem Falle, dass c eine 

 rationale Function von J würde, das Integral 



r dy\ 



eine algeln-aisclie Function von »i. und demzufolge z eine algel)raische 

 Function von *) sein. — Ist z eine einfach oder doppeltperiodische 

 Function von J. so müssen , damit z für ein gegebenes >) nur eine 



' Acta math. S. 337 Satz VI. 



^ Briot et BouQUET im Journal de l'Hcole Pulytechnique, call. 36 S. 217. 



