FrcHs: Über algebraisch integrirhare lineare Differentialgleichungen. 4/9 



endliche Anzahl von Werthen annehme, ganzzalilige Vielfache der 

 Periodicitätsmodulen von H mit Periodicitätsmodulen von J überein- 

 stimmen, und Stellen in der Fläche (B), in welchen z unbestimmt 

 würde, könnten nur unter denjenigen Werthen befindlich sein, für 

 welche K{vt) verschwindet. Solche Stellen sind demnach in der 

 Fläche {B) nur in endlicher Anzahl vorhanden. Ist aber v\ ^ 7, 

 ^ = ^ eine Stelle, wo c unbestimmt wird, so muss jede Stelle (7', ^'), 

 welche aus (7, <5) durch Transformation vermittelst einer beliebigen 

 Substitution der zur Gleichung (A) gehörigen Gruppe hervorgegangen, 

 eine solche sein, für Avelche ~ unbestimmt wird. Es müssen daher 

 die durch Transformation vermittelst der Substitutionen der zur Glei- 

 chung (A) gehörigen Gruppe aus (7, ^) hervorgegangenen Stellen der 

 Fläche (B) nur in endlicher Anzahl vorhanden sein, woraus wieder 

 nach Satz II Nr. 3 die algebraische Integrirbarkeit der Gleichung (A) 

 folgen würde. — Sind ülierhaupt keine Wertlie (7, S) vorhanden, für 

 welche das Integral H unendlich wird, dann giebt es auch keine 

 Stelle in der Fläche (B), in welcher z unbestimmt wird, so dass z 

 eine rationale Function von (v), 1^), also wiederum Gleichung (A) 

 algebraisch integrirbar. 



Hiermit ist der Satz, dass für « > 2 die Gleichung (A) alge- 

 braisch integrirbar ist, bewiesen. 



In der folgenden Nummer wollen wir eine zweite auf anderen 

 Principien beruhende- Methode angeben, um aus der Gleichung (a.) 

 die algebraische Integrirbarkeit der Gleichung (A) herzuleiten. 01)- 

 gleich diese zweite Methode bei weitem schneller zum Ziele führt, 

 so haben wir doch geglaubt, die in den Nr. 1 bis 4 entwickelte Me- 

 thode nicht unterdrücken zu dürfen, da die Princij^ien, auf welche 

 sie sich stützt, auch weiterer Anwendungen fähig erscheinen. 



5. 



Wir wollen der Einfachheit wegen voraussetzen , dass in Gleichung 

 (A) ^ = o ist. Wenn dieses nicht stattfindet, so kann dasselbe durch 



— - [?<!= 



die Substitution y ^= e ?" •v erreicht werden, ohne dass hierdurch 

 die Coefficieuten der Relation zwischen dem Fundamentalsystem 

 v„ i\, Ü3, welches y,, y,, y^ entspriclit, von denen der Gleichung (B) 

 abweichend werden. 



Wir haben alsdann 



(i) n© = 1. 



