4S2 Sitziin;; der |iliv.sikaliM-li -iiuilhcinatisclion ('lasse vom 22. INIai. 



(■5) .'/, - Q<"' ", 



wo A oine Wurzel der lileiclmn^j- (i i). 



Aus (Ion (41eichungen (8a) und (i^) orochen sieli Inteftmle der 

 Gleiclumg (A), dcu-en Zweige l)is auf constante Factoren, von end- 

 licher Anzahl sind , und wir könnten hieraus unniittelhar nach dem 

 Satze in Nr. 2 folgern, dass Gleichung (A) algebraisch integrirliar sei. 

 Wir können aber dieses hier auch direct nachweisen. 



Zunächst ergicbt sich l'ür den Fall der (ileichung ((>) aus dieser 

 Gleichung 



0'" A 



0^0 



0'=' 0'- 



2 + q 



0- ^ 



+ -'- 

 0^ 



Avo |U eine neue Constante. Aus derselben ziehen wir den Schluss, 

 dass eine rationale Function, und dass daher die (xleichung (8a) 

 ein Integral der Gleichung (A) liefert, dessen logarithmische Ablei- 

 tung rational, was mit der vorausgesetzten Irreductiliilität der Glei- 

 chung (A) unverträglich ist. 



Im Falle der Gleichungen (5) ergeben die Gleichungen (i 3), (14), 

 wenn 7, , 7, heide von Null verschieden sind , dass eine rationale 

 Function von z, und die Gleichung (15) liefert wiederum ein Integral 

 der Gleichung (A), dessen logarithmische Ableitung rational. 



Die Grösse 7^ kann nicht verschwinden, da sonst die Gleichung (A) 

 durch 0, d. h. durch die Wurzel einer rationalen Function befriedigt 

 wurde. Es könnte aber 7, ^= o sein. Alsdann hat die Gleichung (A) 

 die Integrale 



(17) y^ = @e-' \ y, = @e ■' \ y^^&e ■' "> 



wo A der Gleichung 



( I I a) A' + 7^ = o 



geneigt, und wo e eine primitive dritte Wurzel der Einheit bedeutet. 

 Die drei Integrale y,, ^2^ y-i bilden ein Fundamentalsystem. 

 Aus der zweiten der Gleichungen (5) oder aus 



folgt 



(.8) 5!!-' + ,?-'+^ = ^. 



^ ' 0^0 03 



Demnach ist 0^ eine rationale Function, woraus sich ergiebt, 

 dass die Integrale .y, ,^2,3/, füi' alle Umläufe der Variablen -, bis auf 

 constante Factoren, sich nur unter einander vertauschen. In der That 

 ist auch 



(19) y,y2h = ®^- 



