496 Sitzung der pliys.-inatli. ('lasse v. 22. Mai. — Mitthciliirig v. 1. Mai. 



teil, also für «^4 die sechszehn Sub.stitutionscoefficienten von sechs 

 unal)liän,s:igpn Elementen ab. In Folge von (7) des art. i, ferner von (3) 

 und (9) des gegenwärtigen Artikels werden diese sechszelni Substitutions- 

 coofficienten mit Hülfe von zwei Systemen der eingeführten partiellen 

 Difl'erentialquotienten, etwa L,,^ und M,,^, dargestellt, indem die Indi- 

 viduen des dritten Systems als rationale ganze Functionen von den 

 Individuen der beiden ersten erscheinen. Es erhebt sich nun die 

 Frage, von welcher Anzahl von unabhängigen J]lementen ein einziges 

 dieser Systeme abhängt. Denn so lange man die Antwort nicht 

 kennt, bleil)t es ungewi.ss, ob nicht etwa ein einziges der drei Systeme 

 zu der Bestimmung der sechszehn Substitutionscoefficienten genüge. 

 Nach dem Vorhergehenden bilden die Individuen eines jeden der drei 

 Systeme eine zur Transformation einer Summe von vier Quadraten 

 in sich selbst dienende und zugleich symmetrische Substitution von 

 der üeterminante -|- i . Im Folgenden werde ich die Frage nach der 

 Anzahl der vorhandenen unabhängigen Elemente auf alle Substitutionen 

 ausdehnen, welche zur Transformation einer Summe von beliebig 

 vielen Quadraten in sich selbst geeignet und symmetrisch sind. Im 

 Eingange ist an die bekannte Thatsache erinnert worden, dass aus 

 der Realität der Grössen /»„^ die Realität der Wvu'zcln A/,. der Glei- 

 chung r {s) = o und der Substitutionscoefficienten aj,*' folge. In dem 

 Falle w =: 4 zieht die Realität der Wurzeln A^ die Realität von L, M, N, 

 und deshalb auch von den partiellen Derivirten Zj^, M,,^, N/,^ nach sich. 

 Bei der jetzt anzustellenden Untersuchung sollen complexe Bestand- 

 theile niclit ausgeschlossen sein. 



Wenn «Variable Xj als homogene lineare Functionen von ?/Varia- 

 beln i/ct ilie letzteren als eben solche Functionen von «Variabein :^ 

 gegeben sind, 



(i) a;4 = «j,2/, + <*(,, y3 4-... + Äj„y„, 



(2) 2/, = ^„y, + /3,,^, + ... + ^,„2„, 



so entsteht durch Zusammensetzung der betreffenden Substitutionen 

 das System von Gleichungen 



(3) a;j = ^otj„/3„2, + ^aj,/3„^j + ... + ^ot6,/3,„2„. 



Bei der besonderen Voraussetzung, dass die Substitution (2) mit (i) 

 identisch ist, oder dass für die Coefficienten die Gleichungen 



(4) <*./ = ^e/ 



