LiPscHiTz: Gleichzeitige Transformation von zwei Formen. 497 



gelten, erhält (3) die Gestalt 



Ich werde jetzt ferner annehmenn, dass die Substitution (i) zur Trans- 

 formation einer Summe von ?iQuadraten in sich selbst geeignet, ausser- 

 dem symmetrisch sei,' und die Determinante + i habe. 



Dann hat man auf der rechten Seite von (5) die Coeffieienten 



(6) '%<^bc^ce = %'^hc<^.c; 



weil aber bekanntlich die Summe V a^^ u^^ unter den vorliegenden 



Bedingungen gleich der positiven Einheit oder der Null ist, je nach- 

 dem b = e oder von e verschieden ist, so geht (5) in das System 

 von Gleichungen 



(7) ^6 = ^6 



Über. Eine Substitution der angegebenen Beschaffenheit hat 

 demnach die Eigenschaft, sobald sie zwei Mal nach ein- 

 ander angewendet wird, die identische Substitution her- 

 vorzubringen. 



Die Frage nach der Anzahl von unabhängigen Elementen, welche 

 in einer Substitution a,,^ der bezeichneten Art enthalten sind, lässt 

 sich mit Hülfe der Grundsätze beantworten, welche ich in der Schrift: 

 Untersuchungen über die Summen von Quadraten, Bonn, 1886, ent- 

 wickelt habe. In dem Abschnitt III, Transformation einer Summe 

 von beliebig vielen Quadraten in sich selbst für das Gebiet der ein- 

 fach complexen Grössen, werden, wie im vorliegenden Falle, solche 

 Substitutionen betrachtet, deren Coeffieienten aus zwei unabhängigen 

 reellen Bestandtheilen und den Einheiten i und Y — i gebildet, oder, 

 nach dem dort angewendeten Sprachgebrauch, einfach complexe Grössen 

 sind. Nach den art. 3 und 4 von S. Q. Abschnitt III gehört zu jeder 

 obigen Substitution ( i ) , welche die Gleichung 



x] + xl + ... + xl^i/l+yl + ...+yl 

 erfüllt, und die Determinante + 1 hat, ein regulärer bicomplexer 

 Ausdruck der wten Ordnung. Ich wei'de ihn mit * bezeichnen 

 und vermittelst der dort definirten Primitivzeichen k,, k^j.-.k^ 

 und der einfach complexen Bestandtheile (p^, <p^^, . . . (^,j,^ , . . . so 

 darstellen 



(8) ^ = <p, + k,k,<p,, + ... + k, k, ^3 A,(f „3, + . . . . 



' Vergl. Fr. Prym: Untersuchungen über die RiEMXNN'sche Thetaformel und die 

 RiEMANN'sche Charakteristikentheorie. V. Über ein für die Theorie der Thetafunctionen 

 fundamentales System linearer Gleichungen. 



